Взаимосвязь интегральных физических характеристик пластинок с коэффициентом формы

В работе [52] профессор А.В. Коробко представил единичную функцию прогибов пластинки в полярной системе координат в виде соотношения

Эта функция описывает поверхность прогибов пластинки, линии уровня которой подобны опорному контуру и подобно расположены. ^[3] Подставив ее в выражения (2.21)...(2.22), после довольно сложных интегро-дифференциальных преобразова­ний были получены следующие соотношения:

52

Здесь Kw, Kω, - коэффициенты пропорциональности, зависящие от граничных усло­вий и вида геометрического преобразования, объединяющего определенное огра­ниченное (заданное или выбранное) подмножество форм пластинок.

Таким образом, анализируя формулы (2.25), приходим к выводу, что рас­сматриваемые интегральные физические характеристики пластинок c точностью до физических постоянных (q, D, m) зависят только от геометрического параметра K_f/A. Если привести физические характеристики пластинок к единичной площади, или предположить, что при выбранном геометрическом преобразовании площадь пластинки остается постоянной (А = const), то единственным аргументом в этих соотношениях будет коэффициент формы.

В обобщенном виде зависимости (2.25) можно представить так:

где F - обобщенная интегральная физическая характеристика пластинок; K - обоб­щенный коэффициент пропорциональности, имеющий размерность площади в сте­пени -m (м ^2m); Q - обобщенная физическая константа; m - показатель степени, принимающий фиксированные значения для каждого из рассматриваемых видов деформации пластинок.

Для всего множества форм пластинок с выпуклым контуром и однородными граничными условиями коэффициенты пропорциональности K_w, K_ω, обращаются в функции, зависящие также от аргумента Kf:

Тогда и в этом случае можно использовать зависимость, аналогичную (2.26):

В работах А.В. Еоробко показано, что влияние функций K(K_f) на интегральные фи­зические характеристики незначительное, и поэтому зависимость (2.28) была пред­ставлена им в виде степенной функции

где показатель степени n незначительно отличается от m.

Таким образом, коэффициент формы является геометрическим аналогом

интегральных физических характеристик пластинок и для исследования качествен­ной картины их поведения при различных геометрических преобразованиях доста­точно проследить за поведением коэффициента формы этих пластинок. Другими словами, не решая сложной физической проблемы, можно путем анализа элемен­тарной геометрической задачи изучить все характерные изопериметрические свой­ства и закономерности поведения интегральных физических характеристик пласти­нок при геометрическом моделировании их формы. Такой возможности не пред­ставляет нам ни один их известных ныне методов решения задач теории пластинок.

В связи с этим на первый план настоящей работы выходит задача исследования изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы обла­стей в виде частей круга при геометрическом моделировании их формы.

Используя свойство о двусторонней ограниченности всего множества зна­чений коэффициента формы для областей с выпуклым контуром, о котором уже говорилось в первой главе на основании (2.26) можно утверждать, что и все мно­жество интегральных физических характеристик пластинок также ограничено с двух сторон. Обобщенный график этой закономерности, представленный в коорди­натных осях F - K_f, изображен на рисунке 2.19.

Рисунок 2.19 - Области распределения значений F (1/F) для всего множества форм пластинок с однородными граничными условиями

На этом рисунке точка 2 соответствует кругу, точка 3 - равностороннему треугольнику, точка 4 - квадрату, кривая I - правильным фигурам, кривая II - рав­нобедренным треугольникам, III - прямоугольникам, кривая IV - эллипсам, кривая V - ромбам.

На основании изопериметрических свойств коэффициента формы, изложен­ных в первой главе формулируется одна из основных изопериметрических теорем относительно интегральных физических характеристик пластинок:

- все множество значений интегральных характеристик F (или 1/F) для пла­стинок с выпуклым контуром и однородными граничными условиями ограничено сверху кривыми I и II, а снизу — кривой IV;

- все множество значений интегральных характеристик F (или 1/F) для че­тырехугольных областей с выпуклым контуром ограничено сверху кривыми I и II, а снизу — кривой III.

Среди всего множества форм пластинок можно выделить некоторые огра­ниченные подмножества. Так, для пластинок в форме параллелограмма верхнюю границу для F (или 1/F) образуют ромбы (кривая V) [80]; для трапеций верхнюю границу для F (или 1/F) образуют равносторонние треугольники (кривая II), а ниж­нюю - прямоугольники (кривая III) [61]. Очевидно, можно выделить и другие под­множества форм пластинок и, в частности, некоторые подмножества форм в виде частей круга.

2.14