ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Пластинки разнообразных форм с различными гранич­ными условиями являются широко распространенными конструктивными элемен­тами зданий и сооружений, машин и механизмов. В настоящее время известно не­много точных методов решения задач технической теории пластинок. Как правило, пластинки сложных форм и сложными граничными условиями рассчитываются приближенными методами, преимущественно численными. Широко распростра­ненными являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

Поэтому проблема разработки и развития приближенных аналитических ме­тодов расчета пластинок остается по-прежнему актуальной. Одним из таких мето­дов, активно развивающихся в последнее время, является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), который относится к геометрическим методам. Он позволяет свести решение сложной физической задачи к элементарной геометри­ческой и, что самое главное, дает возможность представлять искомое решение в виде аналитических зависимостей, объединяющих определенные подмножества форм пластинок с определенными граничными условиями.

Теоретические основы этого метода разработаны. Однако практика его при­менения ограничена в основном треугольными и четырехугольными пластинками (ромбические, параллелограммные, трапециевидные). Для более широкого внедре­ния МИКФ в проектную практику необходимо дальнейшее его развитие примени­тельно к определенным классам форм пластинок с учетом их изопериметрических свойств и закономерностей изменения при различных геометрически преобразова­ниях. Своеобразный класс форм пластинок представляют собой фигуры в виде ча­

стей круга (секторы, сегменты, луночки, круг с отсеченными частями и др.), кото­рые широко используются в качестве конструктивных элементов строительных и машиностроительных конструкций (поворотные вставки между прямоугольными секциями жилых домов, площадки для обслуживания сложного технологического оборудования промышленных предприятий, элементов силового каркаса корабля, летательных аппаратов и других машин). Развитию и применению МИКФ к рас­чету жесткости таких пластинок и их основной частоты колебаний посвящена настоящая диссертация.

Объект исследования - упругие изотропные пластинки в форме частей круга с однородными граничными условиями (либо шарнирное опирание по кон­туру, либо жесткое защемление). Предмет исследования - геометрические ме­тоды определения жесткости пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, и основной частоты колебаний в ненагруженном состоянии.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теоретических основ и совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы для расчета упругих пластинок, имеющих форму частей круга.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

- получить формулы для определения коэффициента формы, изучить его изо- периметрические свойства и закономерности изменения для геометрических фигур, представляющих собой различные части круга, при разнообразных геометрических преобразованиях;

- выбрать рациональные структуры аппроксимирующих функций для ис­пользования методики МИКФ к расчету пластинок рассматриваемых форм и про­тестировать их на основе известных решений;

- используя методику МИКФ построить аналитические зависимости для определения жесткости равномерно нагруженных пластинок в виде частей круга при однородных граничных условиях (шарнирное опирание или жесткое защемле­ние по контуру) и основной частоты колебаний этих пластинок в ненагруженном состоянии;

- сформулировать и доказать изопериметрические теоремы относительно экстремальных свойств интегральных физических характеристик (максимального

прогиба и основной частоты колебаний) для пластинок рассматриваемого класса форм;

- разработать метод масштабирования для решения рассматриваемых задач, методику его применения на основе установленного свойства подобия аппрокси­мирующих функций, полученных с использованием коэффициента формы и инте­гральных физических параметров рассматриваемых пластинок;

- с помощью полученных аппроксимирующих функций с учетом коэффици­ента масштабирования провести решение рассматриваемого класса задач и резуль­таты представить в табличном виде.

Методы исследования. В процессе проведения исследований использовались классические методы технической теории пластинок, методы физико-механиче­ского и геометрического подобия пластинок, изопериметрический метод, метод ин­терполяции по коэффициенту формы, методы построения аппроксимирующих функций и регрессионных зависимостей.

Научную новизну диссертации составляют:

- формулы для определения коэффициента формы различных фигур в виде ча­стей круга при различных геометрических преобразованиях;

- изопериметрические свойства и закономерности изменения коэффициента формы для различных фигур из рассматриваемого множества форм пластинок;

- структура аппроксимирующих функций для решения рассматриваемых задач теории пластинок с помощью МИКФ, и построенные аппроксимирующие функции для пластинок из рассматриваемого класса форм;

- использование закономерности о функциональной связи между жесткостью пластинок с однородными и комбинированными граничными условиями и основ­ной частотой колебаний;

- способы определения множества интегральных характеристик пластинок в виде частей круга с использованием лишь одного известного точного решения со­ответствующих задач теории пластинок.

- метод масштабирования и методика его реализации при построении аппрок­симирующих функций для определения жесткости и основной частоты колебаний пластинок из рассматриваемого множества форм.

Практическая ценность работы заключается:

- в построении большого числа расчетных формул, позволяющих находить значения коэффициента формы пластинок с криволинейными участками опорного контура (пластинок в форме частей круга), максимального прогиба таких пласти­нок и основной частоты колебаний;

- в разработке практических способов использования МИКФ при расчете пла­стинок в виде частей круга;

- в разработке метода масштабирования, методики его использования и реко­мендаций по его применению к пластинкам в виде частей круга;

- в решении большого числа конкретных задач с их графическим представле­нием и составлением соответствующих таблиц.

Достоверность полученных в работерезультатов подтверждается их сопо­ставлением с известными решениями аналогичных задач других исследователей, приводимых в научной, справочной и учебной литературе, а также решением боль­шого количества тестовых задач.

На защиту выносятся:

- формулы для подсчета коэффициента формы геометрических фигур в виде частей круга;

- изопериметрические свойства и закономерности изменения коэффициента формы K_fдля различных фигур в виде частей круга при различных геометрических преобразованиях;

- закономерность о функциональной связи между жесткостью пластинок с лю­быми граничными условиями с основной частотой колебаний и ее аналитическое представление; примеры использования закономерности при расчете пластинок в виде частей круга;

- структура аппроксимирующих функций для решения отдельных задач тео­рии пластинок, связывающие жесткость пластинок и основную частоту колебаний с коэффициентом формы K_f;

- метод масштабирования, методика его реализации и аналитические зависи­мости F(K_f) для определения рассматриваемых интегральных физических характе­ристик пластинок определенного вида с учетом коэффициента масштабирования.

Апробация работы и публикации. Результаты научной работы докладыва­лись и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях профессор­ско-преподавательского состава ФГБОУ ВО «Орловский государственный универ­ситет имени И.С.

По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе в 7-и изда­ниях, входящих в перечень, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, и одна - в изданиях, индексируемых в международной сети Scopus.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 161 страницах, вклю­чающих 136 страницы основного текста и состоит из введения, четырехглав, основ­ных выводов, списка литературы, включающего 144 наименований, и трех прило­жений. В работе приведено 54 рисунка и 32 таблицы.

Во ведении обосновывается актуальность темы, даётся общая характеристика диссертации, приводятся цели и основные задачи исследования, методы его прове­дения, отмечается научная новизна и практическая значимость результатов работы, указываются результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе изложен краткий аналитический обзор методов строительной механики, используемых для расчета пластинок. Наиболее подробно рассматрива­ются приближенные методы расчета, в частности, геометрические методы: метод

интерполяции по коэффициенту формы и изопериметрический метод. В конце главы формулируются основные цели и задачи диссертации.

Во второй главе приводятся общие сведения об интегральной геометриче­ской характеристике формы полоской области с односвязным выпуклым контуром (коэффициенте формы), которая является аналогом интегральных физических ха­рактеристик пластинок. Исследуются изопериметрические свойства и закономер­ности изменения коэффициента формы областей в виде частей круга, получены расчетные формулы для подсчета коэффициента формы. Излагаются теоретиче­ские основы изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффици­енту формы, рассматриваются различные возможности реализации этих методов. На основе анализа интегро-дифференциальных соотношений теории пластинок, представленных в изопериметрическом виде, выбирается оптимальная структура аппроксимирующих функций для различных задач теории пластинок. Проводится тестирование этих функций с использованием известных точных решений. Полу­чены расчетные формулы для определения неизвестных параметров в этих функ­циях.

Третья глава посвящена развитию метода интерполяции по коэффициенту формы к расчету пластинок в виде частей круга. В основном рассматриваются за­дачи поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и сво­бодные колебаний пластинок в ненагруженном состоянии. Граничные условия пла­стинок приняты однородными (либо шарнирное опирание, либо жесткое защемле­ние по контуру). На основе только единственного известного точного решения за­дачи об изгибе пластинки в виде симметричной круговой луночки получены реше­ния для всех задач поперечного изгиба и свободных колебаний рассматриваемых пластинок с жестко защемленным контуром, а на основе только единственного из­вестного решения задачи о поперечном изгибе секториальных пластинок с шар­нирно опертым контуром получены решения для всех задач поперечного изгиба и свободных колебаний рассматриваемых пластинок с шарнирно опертым контуром. Большинство полученных решений представлено не только расчетными форму­лами, но и в виде таблиц.

В четвертой главе рассматривается метод масштабирования для определения

значений максимальных прогибов и частот свободных колебаний пластинок в виде частей круга. При этом в качестве геометрического параметра используются углы, характеризующие в каждом конкретном случае форму фигуры (угол кругового сек­тора, центральный угол хорды сегмента и т.п.). Получены аппроксимирующие функции для определения значений максимального прогиба и основной частоты колебаний пластинок.

В приложениях помещены многочисленные таблицы, в которых приводятся результаты расчетов при определении коэффициента формы рассматриваемых пла­стинок с формой в виде частей круга, максимального прогиба и основной частоты колебаний.

I