<<
>>

Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы

Помимо уже отмеченных публикаций [38...41], среди первых работ, посвя­щенных развитию изопериметрического метода, следует указать статьи А.В. Коробко и И.А. Колесника [42...44]. В этих работах показана возможность применения разнообразных непрерывных геометрических преобразований при по­

строении аналитических зависимостей F - Kf, где F - обобщенная интегральная фи­зическая характеристика в рассматриваемых двумерных задачах строительной ме­ханики и теории упругости, представляемых в изопериметрическом виде.

Такие за­висимости строятся для определенного ограниченного множества областей, отве­чающих какому-либо одному непрерывному геометрическому преобразованию. Необходимым условием при этом является знание хотя бы двух известных («опор­ных») решений для двух областей из рассматриваемого множества.

Обобщив закономерности физико-механической, геометрической и матема­тической аналогий в двумерных задачах строительной механики, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого по­рядков, были обозначены возможные пути развития этого научного направления и приведены примеры для различных задач [50, 51, 61, 62]. Предложенный метод по своей математической сути использует прием нелинейной интерполяции опорных решений по коэффициенту формы. Поэтому он и получил название метода интер­поляции по коэффициенту формы (МИКФ). Первые же публикации [45, 46, 61, 63, 64] показали его высокую эффективность и перспективность дальнейшего разви­тия.

«В основе МИКФ лежит изопериметрический метод, так как основным ар­гументом в получаемых аналитических зависимостях является отношение коэффи­циента формы к площади области (К/А), и все решения для определенного ограни­ченного подмножества областей имеют граничные (опорные) решения. Отличие его заключается в том, что, если при использовании изопериметрического метода поведение интегральных параметров внутри множества решений между опорными не известно, то при использовании МИКФ получается аналитическая зависимость, позволяющая найти решение для любой фигуры из рассматриваемого множества» [64].

В работах [56.58, 60.64] был рассмотрен ряд задач теории пластинок, связанных с треугольными и параллелограммными областями, в которых с исполь­зованием графического анализа было убедительно подтверждена высокаястепень подобия изменения интегральных физических характеристик пластинок и коэффи­циента их формы. Были сформулированы и доказаны изопериметрические теоремы

об изменении интегральных параметров для областей в виде треугольников и па­раллелограммов.

В указанных выше работах были разработаны теоретические основы МИКФ для задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков при однородных граничных условиях, которые были обобщены в кандидатской и докторской диссертациях А.В. Коробко, а также в его монографии [53].

К числу двумерных задач теории упругости и строительной механики, к ко­торым может быть применен МИКФ, относятся задачи поперечного изгиба пласти­нок и мембран; свободных колебаний пластинок и мембран; устойчивости пласти­нок; предельного равновесия и оптимального проектирования пластинок; кручения упругих призматических стержней.

В отличие от изопериметрического метода, где использовалась геометриче­ская операция - симметризация Штейнера, при использовании МИКФ можно при­менять самые разнообразные непрерывные и дискретные геометрические преобра­зования для перехода от опорных фигур к заданной области, что значительно по­вышает эффективность применения изопериметрического метода, позволяя отойти от классической схемы его использования.

В работах [52, 57, 61, 64, 121, 122, 123] МИКФ применялся к решению задач, связанных с фигурами сложного очертания (трапеции произвольного вида, пра­вильные многоугольники, круговые сектора, круговые сегменты и др.), а также к решению задач с комбинированными граничными условиями (комбинация жест­кого защемления с шарнирным опиранием).

Точность решения двумерных задач строительной механики с помощью МИКФ достаточно хорошая. Она зависит от выбора способа получения исходной фигуры с помощью различных геометрических преобразований и выбора вида ап­проксимирующего полинома.

Эти вопросы исследовались в статье [49].

К недостаткам МИКФ следует отнести сложность построения полей дефор­маций и внутренних усилий в пластинках при поперечном изгибе и касательных напряжений в сечениях стержней при их кручении. В работе [52] показано, что

МИКФ может быть применен и для этих целей, однако это направление нуждается в проведении дополнительных исследований.

К развитию МИКФ в последние годы подключилось большое число моло­дых исследователей, которые активно расширяют область применения метода, раз­рабатывают программные комплексы и методическое обеспечение для его практи­ческой реализации в расчетной практике.

Малинкин Н.С занимался развитием МИКФ к решению двумерных задач строительной механики и теории упругости, связанных с параллелограммными об­ластями [79, 80]. Трусов И.Н. развивал теоретические основы МИКФ для решения задач кручения упругих призматических стержней [18, 115]. Гефель В.В. посвятил свои исследования задачам, связанным с треугольной областью [16.18]. Киржаев Ю.В. занимался развитием МИКФ к решению задач предельного равновесия пла­стинок [31.34]. Работы Муромского А.С. связаны с разработкой эксперименталь­ных способов исследования строительных конструкций в виде пластинок и, в част­ности, вибрационных. В основу этих работ положены изопериметрические свой­ства формы контура пластинок [89].

Следует отметить метод интерполяции по отношению конформных радиу­сов, разработанный на основе МИКФ. Суть метода аналогична методу интерполя­ции по коэффициенту формы. Впервые данный метод рассматривалась в работах В.И. Коробко и А.Н. Хусточкина [66, 118]. В качестве геометрического аргумента выступал не коэффициент форм, а отношения внутреннего к внешнему конформ­ных радиусов, подсчитанных для областей ограниченных контуром пластинок. При этом была установлена физико-математическая аналогия (в виде неравенства) кри­тического усилия при потере устойчивости при равномерном всестороннем сжатии с отношением конформных радиусов. Эта аналогия позволила, не решая дифферен­циального уравнения устойчивости пластинок, а рассматривая лишь элементарную геометрическую задачу, связанную с анализом изменения отношения конформных радиусов, оценивать и качественную, и количественную стороны изменения кри­тического усилия, используя при этом некоторые известные частные решения.

Развитие результатов работ [66, 118] с использованием МИКФ было осу-

ществлено в статье [59], где показано, что использование методики МИКФ с заме­ной коэффициента формы на отношение конформных радиусов, позволяет полу­чать решения задач устойчивости для пластинок сложных форм (параллелограмм- ных, трапециевидных и других) с более высокой точностью. Это стало возможным за счет того, что область, ограничивающая решения для всего множества пластинок выпуклых форм (критическое усилие - отношение конформных радиусов) оказа­лась в 1,5.2 раза уже, чем аналогичная область «критическое усилие - коэффици­ент формы».

Приведенный краткий обзор по применению изопериметрического метода к решению двумерных задач теории упругости включает в себя публикации, нося­щие прикладной характер и относящиеся лишь к инженерным методам исследова­ния и расчета. Специалистам, интересующимся изопериметрическим методом в других проблемах математической физики и механики сплошных сред, можно ре­комендовать для ознакомления монографию [131], изложенную на весьма высоком научно-теоретическом уровне.

1.5

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы:

  1. Метод интерполяции по коэффициенту формы
  2. II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
  3. 1.4.1 Интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы)
  4. Коэффициент формы области с выпуклым контуром
  5. Взаимосвязь интегральных физических характеристик пластинок с коэффициентом формы
  6. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  7. Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019, 2019
  8. Определение секущих модулей и коэффициентов поперечных деформаций при отсутствии трещин
  9. Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
  10. Основные нерешенные проблемы в развитии МИКФ Цели и задачи диссертационной работы
  11. 3.1. Формирование стратегии развития системы персональных финансов
  12. Индикаторы сбалансированного развития системы персональных финансов
  13. §1.2 Профессионально-личностное развитие субъекта труда как предмет психологического исследования
  14. Модернизация системы персональных финансов для обеспечения устойчивого развития российской экономики
  15. ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ПЕРСОНАЛЬНЫХ ФИНАНСОВ
  16. 3.4.1 Основные направления программы по профилактике проявлений профессиональной деформации личности менеджера коммерческой организации через развитие профессионально-личностной компетентности
  17. 3.4.2 Анализ результатов апробации программы по профилактике проявлений профессиональной деформации личности менеджера коммерческой организации через развитие профессионально-личностной компетентности
  18. §3.4 Анализ результатов работы по профилактике проявлений профессиональной деформации личности менеджера коммерческой организации через развитие профессионально-личностной компетентности