Построение двусторонних изопериметрических неравенств
Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик либо для всего множества пластинок с выпуклым контуром при определенных граничных условиях, либо для некоторого подмножества форм пластинок (треугольные, параллелограммные, в виде частей круга и т.п.).
Это одна из главных и достаточно сложных задач МИКФ. Для построения указанных границ можно использовать известные данные, приводимые в справочной и научной литературе (если таких данных достаточно), либо строить такие границы, решая соответствующий комплекс задач с помощью других известных методов, например, с помощью метода конечных элементов (МКЭ).Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проиллюстрировать, используя рисунки 2.19 и 2.21.
Рассмотрим рисунок 2.19. Пусть границы распределения какой-либо интегральной физической характеристики известны и описаны соответствующими ана-
Рисунок 2.21 - График 1/F - α
для треугольников
литическими зависимостями. Тогда для построения двусторонних изопериметриче- ских неравенств при оценке F для пластинки определенного (заданного) вида достаточно знать значение ее коэффициента формы (например, для заданной пластинки в виде трапеции Kf = 10). Проведя вертикаль при значении 1∕Kf = 1/10, находим точки пересечения этой вертикали с кривыми I, III и IV. На этой вертикали находятся все решения для рассматриваемой задачи, связанных с областями, у которых Kf= 10, а точки пересечения дают граничные решения для этого множества областей. Точки пересечения вертикали с кривыми I и III дают двусторонние оценки физических величин для областей в виде четырехугольника (в нашем случае для рассматриваемой трапеции), а точки ее пересечения с кривыми III и IV - для областей, у которых число сторон более четырех.
Рассмотрим пример использования указанного приема построения двусторонних изопериметрических неравенств при решении задачи об определении основной частоты колебаний трапециевидной шарнирно опертой пластинки, у которой Kf = 10. Для этой задачи известны аналитические выражения для граничных кривых I и III:
- для кривой I [30] -
- для кривой III [52, 111] -
Подставляя в эти выражения Kf = 10, получим:
С учетом этих результатов для заданной трапециевидной пластинки построим двусторонние изопериметрические неравенства:
Как видно, полученные границы достаточно близки. Искомое значение ω для заданной трапециевидной пластинки найдем как среднее арифметическое указанных границ:
Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется найти основную частоту колебаний для шарнирно опертой пластинки в виде остроугольного треугольника с углами α = 50о, β = 60о и γ = 70о. Искомый результат можно оценить с помощью границ, приведенных на рисунке 2.20-а. Такие границы были построены в работе [89]:
Верхняя граница здесь соответствует пластинкам в виде прямоугольных треугольников, а нижняя - пластинка в виде равнобедренных треугольников. Подставляя в эти неравенства α = 0,873 рад (α = 50о), получим:
Среднее значение
Для использования изложенного способа получения двусторонних оценок интегральных физических величин для областей в виде частей круга необходимо выявление таких границ для определенного подмножества областей (секторы, сегменты и т.п.) и построение аналитических зависимостей для этих границ.
Еще по теме Построение двусторонних изопериметрических неравенств:
- Изопериметрический метод
- Построение матрицы упругости
- 2.4 Сегментация и построение контуров изображений объектов
- ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ СХЕМЫ РАБОТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ
- 2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей
- 3. Классификация органов исполнительной власти. Факторы, влияющие на построение системы органов
- Основные выводы по главе 2
- Методика использования МИКФ
- Основные задачи и интегральные физические характеристики, рассматриваемые в работе
- Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы