<<
>>

Построение двусторонних изопериметрических неравенств

Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик либо для всего множества пласти­нок с выпуклым контуром при определенных граничных условиях, либо для неко­торого подмножества форм пластинок (треугольные, параллелограммные, в виде частей круга и т.п.).

Это одна из главных и достаточно сложных задач МИКФ. Для построения указанных границ можно использовать известные данные, приводимые в справочной и научной литературе (если таких данных достаточно), либо строить такие границы, решая соответствующий комплекс задач с помощью других извест­ных методов, например, с помощью метода конечных элементов (МКЭ).

Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проил­люстрировать, используя рисунки 2.19 и 2.21.

Рассмотрим рисунок 2.19. Пусть границы распределения какой-либо инте­гральной физической характеристики известны и описаны соответствующими ана-

Рисунок 2.21 - График 1/F - α

для треугольников

литическими зависимостями. Тогда для по­строения двусторонних изопериметриче- ских неравенств при оценке F для пла­стинки определенного (заданного) вида до­статочно знать значение ее коэффициента формы (например, для заданной пластинки в виде трапеции Kf = 10). Проведя вертикаль при значении 1∕Kf = 1/10, находим точки пе­ресечения этой вертикали с кривыми I, III и IV. На этой вертикали находятся все реше­ния для рассматриваемой задачи, связанных с областями, у которых Kf= 10, а точки пересечения дают граничные решения для этого множества областей. Точки пере­сечения вертикали с кривыми I и III дают двусторонние оценки физических вели­чин для областей в виде четырехугольника (в нашем случае для рассматриваемой трапеции), а точки ее пересечения с кривыми III и IV - для областей, у которых число сторон более четырех.

Рассмотрим пример использования указанного приема построения двусто­ронних изопериметрических неравенств при решении задачи об определении ос­новной частоты колебаний трапециевидной шарнирно опертой пластинки, у кото­рой Kf = 10. Для этой задачи известны аналитические выражения для граничных кривых I и III:

- для кривой I [30] -

- для кривой III [52, 111] -

Подставляя в эти выражения Kf = 10, получим:

С учетом этих результатов для заданной трапециевидной пластинки построим дву­сторонние изопериметрические неравенства:

Как видно, полученные границы достаточно близки. Искомое значение ω для за­данной трапециевидной пластинки найдем как среднее арифметическое указанных границ:

Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется найти основную частоту ко­лебаний для шарнирно опертой пластинки в виде остроугольного треугольника с углами α = 50о, β = 60о и γ = 70о. Искомый результат можно оценить с помощью границ, приведенных на рисунке 2.20-а. Такие границы были построены в работе [89]:

Верхняя граница здесь соответствует пластинкам в виде прямоугольных треуголь­ников, а нижняя - пластинка в виде равнобедренных треугольников. Подставляя в эти неравенства α = 0,873 рад (α = 50о), получим:

Среднее значение

Для использования изложенного способа получения двусторонних оценок интегральных физических величин для областей в виде частей круга необходимо выявление таких границ для определенного подмножества областей (секторы, сег­менты и т.п.) и построение аналитических зависимостей для этих границ.

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Построение двусторонних изопериметрических неравенств:

  1. Изопериметрический метод
  2. Построение матрицы упругости
  3. 2.4 Сегментация и построение контуров изображений объектов
  4. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ СХЕМЫ РАБОТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ
  5. 2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей
  6. 3. Классификация органов исполнительной власти. Факторы, влияющие на построение системы органов
  7. Основные выводы по главе 2
  8. Методика использования МИКФ
  9. Основные задачи и интегральные физические характеристики, рассматриваемые в работе
  10. Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы