Построение двусторонних изопериметрических неравенств

Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик либо для всего множества пласти­нок с выпуклым контуром при определенных граничных условиях, либо для неко­торого подмножества форм пластинок (треугольные, параллелограммные, в виде частей круга и т.п.).

Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проил­люстрировать, используя рисунки 2.19 и 2.21.

Рассмотрим рисунок 2.19. Пусть границы распределения какой-либо инте­гральной физической характеристики известны и описаны соответствующими ана-

Рисунок 2.21 - График 1/F - α

для треугольников

литическими зависимостями. Тогда для по­строения двусторонних изопериметриче- ских неравенств при оценке F для пла­стинки определенного (заданного) вида до­статочно знать значение ее коэффициента формы (например, для заданной пластинки в виде трапеции K_f = 10). Проведя вертикаль при значении 1∕K_f = 1/10, находим точки пе­ресечения этой вертикали с кривыми I, III и IV. На этой вертикали находятся все реше­ния для рассматриваемой задачи, связанных с областями, у которых Kf= 10, а точки пересечения дают граничные решения для этого множества областей. Точки пере­сечения вертикали с кривыми I и III дают двусторонние оценки физических вели­чин для областей в виде четырехугольника (в нашем случае для рассматриваемой трапеции), а точки ее пересечения с кривыми III и IV - для областей, у которых число сторон более четырех.

Рассмотрим пример использования указанного приема построения двусто­ронних изопериметрических неравенств при решении задачи об определении ос­новной частоты колебаний трапециевидной шарнирно опертой пластинки, у кото­рой K_f = 10. Для этой задачи известны аналитические выражения для граничных кривых I и III:

- для кривой I [30] -

- для кривой III [52, 111] -

Подставляя в эти выражения Kf = 10, получим:

С учетом этих результатов для заданной трапециевидной пластинки построим дву­сторонние изопериметрические неравенства:

Как видно, полученные границы достаточно близки. Искомое значение ω для за­данной трапециевидной пластинки найдем как среднее арифметическое указанных границ:

Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется найти основную частоту ко­лебаний для шарнирно опертой пластинки в виде остроугольного треугольника с углами α = 50^о, β = 60^о и γ = 70^о. Искомый результат можно оценить с помощью границ, приведенных на рисунке 2.20-а. Такие границы были построены в работе [89]:

Верхняя граница здесь соответствует пластинкам в виде прямоугольных треуголь­ников, а нижняя - пластинка в виде равнобедренных треугольников. Подставляя в эти неравенства α = 0,873 рад (α = 50^о), получим:

Среднее значение

Для использования изложенного способа получения двусторонних оценок интегральных физических величин для областей в виде частей круга необходимо выявление таких границ для определенного подмножества областей (секторы, сег­менты и т.п.) и построение аналитических зависимостей для этих границ.