Описание мембранных деформаций

Для анализа мембранных деформаций применим подход Аллмана [150, 181, 189]. Функции формы для узлов 1, 2, 3 (см. рисунок 2.5) принимаем такими же, как и для симплексного конечного элемента. На промежуточной стадии формирования конечного элемента зададим дополнительные узлы в точках 4, 5, 6. С каждым из этих узлов связывается перемещение, перпендикулярное сто­роне треугольника, на которой он расположен. Тогда мы можем записать где- функции перемещений соответственно в направлениях

осейлокальных декартовых систем координат

, выражаемые через дополнительные перемещения

лов 4, 5, 6;

- функции формы этих узлов.

Функциимогут быть представлены с помощью выражений,

используемых для квадратичной аппроксимации перемещений в плоскости треугольного конечного элемента:

65

где L₁, L₂, L₃- L-координаты [189].

При этом перемещение δ_xj (j = 1, 2) точек элемента в направлении оси Oxjбудет определяться таким образом:

где- значение перемещения

- направляющие косинусы между осямии осью

^OxJ.

Выполняем замену переменных [181, 188]:

где- длины сторон 2-3, 3-1 треугольника.

Для мембранных деформаций при анализе выполнения условий сходимо­сти МКЭ достаточно рассмотреть равенство углов поворота в плоскости конеч­ногоэлемента:Тогда, согласно зависимостям (2.84), будем

иметьПри этом конечный элемент будет описываться

по мембранным перемещениям с помощью линейных аппроксимаций, удовле­творяя всем критериям сходимости МКЭ.

Далее можно перейти к получению зависимостей для построения матри­цы деформаций B_p, матрицы напряжений S_pи матрицы жесткости K_pрас­сматриваемого конечного элемента, связанных с плоским напряженным состо­янием. Вектор {