<<
>>

Описание изгибных деформаций

Сходимость МКЭ при использовании функционала Лагранжа обеспечи­вается даже при нарушении условий совместности перемещений на границах между элементами, если удовлетворяется требование кусочного тестирования по Айронсу [156, 189].

В соответствии с этим тестированием, если с помощью системы конечных элементов удается воспроизвести условие постоянных де­формаций, то по мере сгущения сетки достигается сходимость результатов рас­чета к точному решению.

В диссертации, в отличие от традиционной схемы построения конечных элементов [44, 189], предусматривается в соответствии с концепцией работ [104, 177] обязательное удовлетворение условий совместности во всех точках элемента только для условия постоянных деформаций. Аппроксимация пере­мещений выполняется по отдельным прямолинейным отрезкам на границе и внутри области элемента. В то же время считается обязательным обеспечение условия кусочного тестирования по воспроизведению постоянных деформаций.

Построим треугольный конечный элемент (рисунок 2.5) с узлами в угло­вых точках. В каждом узле элемента учитываем три степени свободы: прогиб и углы поворота относительно осей Ox1и Ox2системы координат. Вве­

дем вспомогательные точки 4, 5, 6 в центрах сторон треугольника. Необходимо выразить связанные с изгибом плиты обобщенные деформации [189] в этих точках через обобщенные перемещения узлов конечного элемента, где δx3- проекция прогиба на ось Ox3. Точки 4, 5, 6 будем также использовать как точки интегри­рования при построении матрицы жесткости конечного элемента.

Рассмотрим точку 4. Ведем аппроксимацию обобщенных перемещений на отрезке 1-2. Полагаем, что прогиб на этом отрезке изменяется по кубическо­му закону, а угол поворота относительно оси Oy1- по линейному закону.

Про­гиб вдоль отрезка 3-4 аппроксимируем с помощью полинома третьей степени. При этом обеспечивается равенство перемещений и углов поворота в точке 4 для соседних конечных элементов Aи B(см. рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 - Конечный элемент плиты

Значена:в этой точке выражаются через

обобщенные узловые перемещения в узлах 1 и 2, где δy3- проекция вектора

перемещений на осьа значение- через обобщенные переме­

щения узлов 1, 2, 3. Далее переходим к обобщенным деформациям в системе координат

Тогда можно записать

В равенствах (2.50) и (2.51) используются функции формы, обычно зада­ваемые при описании изгиба стержней, в выражении (2.52) - чистого кручения стержней. На основании соотношений (2.50) и (2.51) можно получить следую­щие выражения для точки 4:

60

Учитывая зависимость (2.51) и принимая во внимание условие

будем иметь:

Углы поворотавыражаются через уголследующим

образом:

где φ- угол между положительными направлениями осей

Принимая во внимание уравнения (2.52), (2.55), (2.59), получим выраже­

ние

С использованием соотношений дифференциальной геометрии можно за­писать

где

61

С учетом соотношений (2.53), (2.54) вектор, объединяющий обоб­

щенные деформации z1, Z2и χ12точки 4, представим таким образом: где

Введем векторобобщенных узловых перемещений конечного эле­

мента для системы координат

Принимая во внимание равенства (2.53), (2.56)-(2.60), (2.62), (2.66), запи­

шем

где

62

В результате будем иметь матрицу деформацийвыражающую

для точки 4 векторчерез векторобобщенных узловых перемещений в системе координатных осей

Используя уравнения (2.64), (2.67), (2.72), получим равенство:

где T- матрица, выражающая векторчерез вектор

Мы можем записать [188]

63

где в данном случае матрица

Матрицы деформацийдля точек 5, 6 могут быть получены ана­

логично. Применяя численное интегрирование по Гауссу [39], будем иметь где F- площадь рассматриваемого треугольника;

Db- матрица упругости изгибных деформаций.

Для распределенной нагрузки, перпендикулярной площади плиты, с по­мощью квадратуры Гаусса можно получить следующую зависимость: где- вектор приведенных узловых сил;

- матрица - функция формы для системы координат Ox1x2x3

и точки i;

- значение функции qв точке i.

Для точки 4 матрица формыв системе координатв соответ­

ствии с выражением (2.53) может быть записана в следующем виде:

Тогда будем иметь

Аналогично можно получить матрицы

На границе между двумя стыкующимися конечными элементами Aи B (см. рисунок 2.5) прогиб и углы поворота полностью определяются при посто­янных деформациях обобщенными перемещениями узлов 1 и 2, принадлежа­щих обоим этим элементам. То есть дискретизация является совместной, и вы­полняется требование кусочного тестирования по обеспечению возможности получения постоянной кривизны для группы конечных элементов.

2.3.2.

<< | >>
Источник: Муймаров Кирилл Викторович. ОПТИМИЗАЦИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ С ВЫБОРОМ СТРУКТУР АРМИРОВАНИЯ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Брянск - 2019. 2019

Еще по теме Описание изгибных деформаций:

  1. Описание мембранных деформаций
  2. Описание деформаций бетона при заданных секущих параметрах упругости
  3. Психологические предпосылки разработки подходов к описанию специфики личностных результатов обучения
  4. Рассмотрение деформаций арматуры
  5. §2.2 Значимые проявления профессиональной деформации личности менеджера коммерческой организации
  6. 2.1 Теоретико-методологические основания исследования профессиональной деформации личности субъекта труда
  7. Основные подходы к моделированию деформаций железобетон­ных плит
  8. §2.3 Особенности профилактики и преодоления проявлений профессиональной деформации личности субъекта труда
  9. Определение секущих модулей и коэффициентов поперечных деформаций при отсутствии трещин
  10. §3.1 Результаты исследования уровней выраженности проявлений профессиональной деформации личности менеджера коммерческих организаций
  11. §3.4 Анализ результатов работы по профилактике проявлений профессиональной деформации личности менеджера коммерческой организации через развитие профессионально-личностной компетентности
  12. ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ И АНАЛИЗ РАБОТЫ ПО ПРОФИЛАКТИКЕ ПРОЯВЛЕНИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЛИЧНОСТИ МЕНЕДЖЕРА КОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПОСРЕДСТВОМ РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ЛИЧНОСТНОЙ КОМПЕТЕНТОСТИ