Описание деформаций бетона при заданных секущих параметрах упругости

Рассматриваем бетонную плиту ∏_b, получаемую из железобетонной плиты (см. рисунок 2.1) путем устранения арматуры. Разделим бетон на nтон­ких слоев. Узлы конечноэлементной модели располагаем в срединной плоско­сти плиты.

Считаем, что слои бетона находятся в условиях плоского напряженного состояния в соответствии с гипотезой прямых нормалей. Для каждого i-го слоя бетона относительные деформации запишем в виде

где- относительные деформациина уровне средин­

ной плоскости плиты;

z_i- координата по оси Ozсрединной плоскости i-го слоя.

В плите ∏_βв соответствии с теорией Кирхгофа учитываем относимые к единице ширины поперечных сечений пластины изгибающие моменты M_x, My, крутящий момент M_xyи мембранные усилия(рисунок 2.2).

Рассматриваем для плиты Π_bследующие векторы обобщенных деформаций

и напряжений:

Рисунок 2.2 - Внутренние усилия, рассматриваемые для плиты ∏ _b

Эти векторы связываются зависимостью

где ∖P_e] - матрица упругости конечного элемента для пакета слоев.

Для вычисления матрицы жесткости конечного элемента использовалось

численное интегрирование. Для этого при нахождении секущей матрицы конечного элемента в точке интегрирования jдля шага r итерационного процесса осуществлялись следующие основные действия.

упругости

1. Определялся вектор деформаций конечного элемента для точки инте­грирования jв итерации r-1:

47

где- матрица деформаций конечного элемента для этой точки;

- вектор обобщенных перемещений узлов конечного элемента, вычисляемый при выполнении итерации r-1.

2. Находились с помощью формул (2.3) деформации для слоев.

3. Определялись векторы напряжений для каждого i-го слоя в точках интегрирования:

где

- напряжения для слоя iв точке j;

- полученная на шаге г-1 для точки интегрирования jматрица

упругости плоского напряженного состояния слоя i;

Соответствующий вектору напряженийвектор деформаций

где- деформации, относящиеся к слою iи точке интегрирова­

ния j.

4. Находились новые матрицы упругости слоев для итерации r c использованием теории Н.И. Карпенко и схемы В.И. Мурашева.

5. Строились матрицыс рассмотрением их в блочном виде

48

где- квадратные блоки третьего порядка.

При этом учитывались следующие выражения:

где- элементы подматриц

- элементы матриц упругости слоев;

- толщина слоя i.

2.2.1.