Изопериметрический метод
Большинство физических законов природы с давних пор представляются исследователями в виде минимаксной проблемы, при решении которой приходят к неравенствам, отражающим тот факт, что искомая интегральная физическая величина для рассматриваемого объекта не превышает (или не меньше) некоторого максимального (минимального) значения, являющегося решением рассматриваемой
задачи.
Очень часто эти задачи связаны с изопериметрической проблемой, известной еще с глубокой древности применительно к задачам геометрии [120, 125].Если говорить о двумерных задачах строительной механики, то изоперимет- рическую проблему можно сформулировать следующим образом: среди данной совокупности областей, имеющих одинаковый периметр (или площадь) необходимо найти ту, для которой искомая интегральная физическая характеристика будет наибольшей (или наименьшей).
Изопериметрический метод уже давно использовался в решениях задач математической физики [127 ... 129, 144]. Однако его основоположниками следует считать всемирно известного математика Д. Пойа (Г. Полиа) и его коллегу Г. Сеге [97, 140].
В основу этого метода положено геометрическое преобразование - операция симметризации Штейнера [97, 142]. С помощью этого преобразования заданную область, решение для которой отыскивается, превращается в другую область, решение для которой известно, и это последнее решение используют в качестве одной из оценок (верхней или нижней) искомой интегральной физической характеристики для заданной области. Можно использовать и обратное преобразование, когда некоторую область с известным решением путем симметризации Штейнера преобразовывают к заданной области. В этом случае известное решение дает оценку искомой физической характеристики для заданной области с другой стороны. Такой подход позволяет получать двусторонние изопериметрические неравенства для оценки физических характеристик.
Довольно часто построенные таким образом изопериметрические неравенства ограничивают узкий интервал возможных решений, что делает изопериметрический метод в этих случаях весьма эффективным.В изопериметрических неравенствах, построенных Полиа Г. и Сеге Г., использовалась новая геометрическая характеристика формы области - интегральная характеристика формы (коэффициент формы[1]). В монографии [97] приводятся первые исследования изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента
формы.
В работе [97] изопериметрический метод применяется к исследованию задач колебаний мембран, кручения упругого призматического бруса, колебаний жестко защемленных пластинок. Для них были сформулированы и доказаны основные изопериметрические теоремы: связанные с областью в виде круга:
- из всех равновеликих сечений упругих стержней наибольшую геометрическую жесткость кручения имеет сечение в виде круга;
- из всех равновеликих мембран наименьшую частоту колебаний имеет круглая мембрана.
Одной из первых работ, где изопериметрический метод использовался при исследовании предельного равновесия круглых пластинок, является статья В. Шумана [125]. В этой работе впервые сформулирована изопериметрическая теорема о том, что из всех пластин постоянного сечения и равной площади наименьшую разрушающую нагрузку имеет круглая пластинка.
К задачам строительной механики упругих пластинок и предельного равновесия пластинок изопериметрический метод был впервые использован в работах В.И. Коробко [65.69, 72, ... 75]. Им был разработан математический аппарат и методологические основы для построения одно- и двухсторонних изопериметриче- ских неравенств при решении задач технической теории пластинок и предельного равновесия пластинок. В указанных работах профессором В.И. Коробко были сформулированы следующие изопериметрические теоремы:
- из всех изотропных пластинок равной толщины и площади при однородных граничных условиях наибольший прогиб и наименьшие основная частота колебаний и критическое усилие при потере устойчивости имеет круглая пластинка;
- из всех изотропных пластинок равной толщины и площади с заданным направлением сторон при однородных граничных условиях наибольший прогиб и наименьшие основная частота колебаний и критическое усилие при потере устойчивости имеет пластинка в виде правильной фигуры.
В обзорной статье [74] В.И. Коробко наметил перспективы развития изопе- риметрического метода применительно к двумерным задачам теории упругости. В
этой статье им было указано на возможность разработки на основе изопериметри- ческого метода принципиально нового инженерного метода определения интегральных физических характеристик в рассматриваемых задачах - это метод интерполяции по коэффициенту формы [2].
В работах Г.И. Коротеева и И.А. Чаплинского [76, 77], а также В.И. Коробко и Г.И. Коротеева [68, 71] изопериметрический метод был применен к задачам предельного равновесия пластинок переменного сечения. При этом операция симметризация впервые использовалась для симметризации пластинок относительно некоторой плоскости, переходящей в результате такого преобразования в серединную.
Вопросам устойчивости и колебаний пластинок с позиции изопериметриче- ского метода посвящены работы Г. Мануйлова [81, 82], в которых получен ряд верхних и нижних оценок для пластинок в виде ромбов и параллелограммов.
К исследованию задач предельного состояния оболочек изопериметриче- ский метод был использован А.С. Дехтярем с соавторами в работах [24, 25], а к задачам свободных колебаний упругих оболочек - Г.А. Мануйловым в статье [83].
А.Н. Хусточкин занимался развитием изопериметрического метода к задачам устойчивости пластинок [57, 118].
В отмеченных выше работах применение изопериметрического метода сводилось к построению одно- или двусторонних изопериметрических неравенств в виде границ с известными решениями, относящимися к ограниченному классу геометрических фигур (круг, квадрат, прямоугольники, эллипсы, равносторонний треугольник). Представление интегральных физических характеристик в виде аналитических зависимостей от коэффициента формы в задачах поперечного изгиба пластинок было впервые сделано в статье [70]. В этой статье были описаны границы изменения максимального прогиба всего множества выпуклых жестко защемленных пластинок и сделано предположение о возможности получения простых ана
литических зависимостей в изопериметрическом виде, относящихся к фигурам какого-либо ограниченного множества. Эта публикация стала отправной точкой для развития метода интерполяции по коэффициенту формы.
1.4
Еще по теме Изопериметрический метод:
- Построение двусторонних изопериметрических неравенств
- Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
- Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
- 1.2.1 Вариационные методы
- Геометрические методы
- 3. Понятие и виды методов государственно-управленческой деятельности
- 3.2 Метод дифференциальной коноскопии.
- Методы вычисления параметров и сопоставления характерных точек объектов
- ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
- Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов
- ФОРМЫ И МЕТОДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ
- 1. Предмет и метод административного права
- Метод интерполяции по коэффициенту формы
- Перевод как герменевтический метод понимания текста
- ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ РАБОЧЕЙ СЦЕНЫ
- Метод формирования тремерной рабочей сцены при использовании нескольких оптико-электронных датчиков
- Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
- Раздел 5 «Функции, формы и методы государственного управления»
- II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
- Тема 9. Содержание, методы и формы государственного управления