Изопериметрический метод

Большинство физических законов природы с давних пор представляются исследователями в виде минимаксной проблемы, при решении которой приходят к неравенствам, отражающим тот факт, что искомая интегральная физическая вели­чина для рассматриваемого объекта не превышает (или не меньше) некоторого мак­симального (минимального) значения, являющегося решением рассматриваемой

задачи.

Если говорить о двумерных задачах строительной механики, то изоперимет- рическую проблему можно сформулировать следующим образом: среди данной со­вокупности областей, имеющих одинаковый периметр (или площадь) необходимо найти ту, для которой искомая интегральная физическая характеристика будет наибольшей (или наименьшей).

Изопериметрический метод уже давно использовался в решениях задач ма­тематической физики [127 ... 129, 144]. Однако его основоположниками следует считать всемирно известного математика Д. Пойа (Г. Полиа) и его коллегу Г. Сеге [97, 140].

В основу этого метода положено геометрическое преобразование - опера­ция симметризации Штейнера [97, 142]. С помощью этого преобразования задан­ную область, решение для которой отыскивается, превращается в другую область, решение для которой известно, и это последнее решение используют в качестве одной из оценок (верхней или нижней) искомой интегральной физической харак­теристики для заданной области. Можно использовать и обратное преобразование, когда некоторую область с известным решением путем симметризации Штейнера преобразовывают к заданной области. В этом случае известное решение дает оценку искомой физической характеристики для заданной области с другой сто­роны. Такой подход позволяет получать двусторонние изопериметрические нера­венства для оценки физических характеристик.

В изопериметрических неравенствах, построенных Полиа Г. и Сеге Г., ис­пользовалась новая геометрическая характеристика формы области - интегральная характеристика формы (коэффициент формы^[1]). В монографии [97] приводятся пер­вые исследования изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента

формы.

В работе [97] изопериметрический метод применяется к исследованию за­дач колебаний мембран, кручения упругого призматического бруса, колебаний жестко защемленных пластинок. Для них были сформулированы и доказаны основ­ные изопериметрические теоремы: связанные с областью в виде круга:

- из всех равновеликих сечений упругих стержней наибольшую геометриче­скую жесткость кручения имеет сечение в виде круга;

- из всех равновеликих мембран наименьшую частоту колебаний имеет круглая мембрана.

Одной из первых работ, где изопериметрический метод использовался при исследовании предельного равновесия круглых пластинок, является статья В. Шу­мана [125]. В этой работе впервые сформулирована изопериметрическая теорема о том, что из всех пластин постоянного сечения и равной площади наименьшую раз­рушающую нагрузку имеет круглая пластинка.

К задачам строительной механики упругих пластинок и предельного равно­весия пластинок изопериметрический метод был впервые использован в работах В.И. Коробко [65.69, 72, ... 75]. Им был разработан математический аппарат и методологические основы для построения одно- и двухсторонних изопериметриче- ских неравенств при решении задач технической теории пластинок и предельного равновесия пластинок. В указанных работах профессором В.И. Коробко были сформулированы следующие изопериметрические теоремы:

- из всех изотропных пластинок равной толщины и площади при однород­ных граничных условиях наибольший прогиб и наименьшие основная частота коле­баний и критическое усилие при потере устойчивости имеет круглая пластинка;

- из всех изотропных пластинок равной толщины и площади с заданным направлением сторон при однородных граничных условиях наибольший прогиб и наименьшие основная частота колебаний и критическое усилие при потере устой­чивости имеет пластинка в виде правильной фигуры.

В обзорной статье [74] В.И. Коробко наметил перспективы развития изопе- риметрического метода применительно к двумерным задачам теории упругости. В

этой статье им было указано на возможность разработки на основе изопериметри- ческого метода принципиально нового инженерного метода определения инте­гральных физических характеристик в рассматриваемых задачах - это метод ин­терполяции по коэффициенту формы ^[2].

В работах Г.И. Коротеева и И.А. Чаплинского [76, 77], а также В.И. Коробко и Г.И. Коротеева [68, 71] изопериметрический метод был применен к задачам пре­дельного равновесия пластинок переменного сечения. При этом операция симмет­ризация впервые использовалась для симметризации пластинок относительно не­которой плоскости, переходящей в результате такого преобразования в середин­ную.

Вопросам устойчивости и колебаний пластинок с позиции изопериметриче- ского метода посвящены работы Г. Мануйлова [81, 82], в которых получен ряд верхних и нижних оценок для пластинок в виде ромбов и параллелограммов.

К исследованию задач предельного состояния оболочек изопериметриче- ский метод был использован А.С. Дехтярем с соавторами в работах [24, 25], а к задачам свободных колебаний упругих оболочек - Г.А. Мануйловым в статье [83].

А.Н. Хусточкин занимался развитием изопериметрического метода к зада­чам устойчивости пластинок [57, 118].

В отмеченных выше работах применение изопериметрического метода сво­дилось к построению одно- или двусторонних изопериметрических неравенств в виде границ с известными решениями, относящимися к ограниченному классу гео­метрических фигур (круг, квадрат, прямоугольники, эллипсы, равносторонний тре­угольник). Представление интегральных физических характеристик в виде анали­тических зависимостей от коэффициента формы в задачах поперечного изгиба пла­стинок было впервые сделано в статье [70]. В этой статье были описаны границы изменения максимального прогиба всего множества выпуклых жестко защемлен­ных пластинок и сделано предположение о возможности получения простых ана­

литических зависимостей в изопериметрическом виде, относящихся к фигурам ка­кого-либо ограниченного множества. Эта публикация стала отправной точкой для развития метода интерполяции по коэффициенту формы.

1.4