<<
>>

Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников

На основании изопериметрических теорем относительно свойств коэффициента формы, доказанных в работе [52], и с учетом функциональной взаимосвязи обобщенной интегральной физической характеристики пластинок F и коэффициента формы Kfсформулируем изопериметрические теоремы при оценке жесткости пластинок и их основной частоты колебаний для треугольных пластинок.

1 Из всех равновеликих треугольных пластинок с однородными граничными условиями (шарнирное опирание по контуру и жесткое защемление) пластинка в виде равностороннего треугольника имеет наибольшее значение w0, но наименьшее - ω.

2 Из всех равновеликих треугольных пластинок с однородным граничными условиями и заданным углом α (правый угол при основании треугольника) пластика в виде равнобедренного треугольника имеет наибольшее значение w0, но наименьшее - ω.

3 Из всех равновеликих пластинок в виде прямоугольных треугольников с однородными граничными условиями пластинка в виде равнобедренного прямоугольного треугольника имеет наибольшее значение w0, но наименьшее - ω.

4 При аффинном сдвиге пластинки в виде равностороннего треугольника с однородными граничными условиями вдоль основания жесткость пластинки уменьшается, а основная частота колебаний увеличивается.

5 Для всего множества равновеликих пластинок с однородными граничными условиями и выпуклым шарнирно опертым или жестко защемленным контуром при условии Kf≥10,392 значение w0, соответствующее пластинкам в виде равнобедренных треугольников, образует нижнюю границу, для W0и верхнюю -

для ω.

Рисунок 4.1 - Графическое представление теорем треугольных пластинок

Представим графически сформулированные выше теоремы на рисунках 4.1 и 4.2. На рисунке 4.1-а в координатных осях F (или 1/F) - R/ρ (R - максимум радиусов кругов вписанных в область пластинки, ρ - минимум радиусов кругов, описанных вокруг нее) иллюстрируется теорема 5. На кривой I точка 3 соответствует пластинке в виде равностороннего треугольника, точка 4 - квадратной пластинке, точка 1 - пластинке в виде правильного многоугольника с бесконечно большим числом сторон, кривая II - прямоугольным пластинкам. На рисунке 4.1-б изображена эта же теорема, только в осях

Приведенное графическое представление теоремы 5 при анализе рассматриваемых задач технической теории пластинок, связанных с произвольной выпуклой областью, имеет большой интерес. Однако при рассмотрении решений рассматриваемых задач для треугольных пластинок удобнее воспользоваться графической иллюстрацией теоремы 5 изображенной на рисунке 4.2-а, где по оси абсцисс откладывается правый угол при основании треугольников, которые получаются в результате аффинного сдвига, равнобедренного треугольника, параллельно их основаниям. При этом характерные точки 1 и 3 соответствуют пластинкам в виде равнобедренных прямоугольных треугольников; точка 2 - пластинке в виде равностороннего треугольника; полученные кривые 0-1 и 3-5 соответствуют пластинкам в виде равнобедренных тупоугольных треугольников; кривые 1-2-4 и 1-2-3 - пластинкам в виде равнобедренных остроугольных

треугольников; кривая 1-4 и прямая 4-3'- пластинкам в виде прямоугольных треугольников. Таким образом, полученная заштрихованная область на рисунке соответствует множеству F (1/F) для остроугольных треугольников, а две оставшиеся незаштрихованные области - множеству F (1/F) для тупоугольных треугольников.

Рисунок 4.2 - Графическое представление теорем

о треугольных пластинках

Осуществим геометрическое преобразование какого-либо равнобедренного треугольника (точка «а» на рисунке 4.2) путем аффинного сдвига параллельно основанию треугольника. Кривая а-б-в-г-д-е описывает изменение значений F (1/F) всего множества треугольников, которые соответствуют указанному геометрическому преобразованию. На данном рисунке точка «б» соответствует пластинке в виде прямоугольного треугольника, точка «в» - пластинке в виде равнобедренного остроугольному треугольнику, точка «г» - пластинкам в виде прямоугольного треугольника, точка «д» - пластинке в виде равнобедренного тупоугольного треугольника.

Анализ приведенного рисунка позволяет сделать следующий вывод: область, ограниченная кривыми 4-2-5, является отображением области, ограниченной кривыми 0-2-4. Поэтому первую область можно не рассматривать, а исследовать только вторую область. При этом кривая а-б-в-г-д-е изображается в виде ломаной кривой а-б-в-г'-д'-е' (рисунок 4.2-б). Анализ рисунка 4.2-б показывает, что теорема 1 иллюстрируется точкой 2, теоремы 2 и 4 - кривой 0-1-2-

4, теорема 3 - кривой 1-4, теорема 5 - кривой а-б-в-г-д-е.

Представленная графическая иллюстрация весьма информативна. Она позволяет находить искомые решения для треугольных пластинок любых форм при различных геометрических преобразованиях с помощью МИКФ в случае, когда известны опорные решения. Если же опорные решения неизвестны, то, используя явное подобие рассмотренных графиков F - 1∕Kfи F - α, можно получить приближенные оценки рассматриваемых физических величин лишь по единственному известному решению (для пластинки в виде равностороннего треугольника) с помощью линейного масштабирования.

Рисунок 4.3 - Геометрическое преобразование треугольника путем его аффинного сдвига и растяжения вдоль боковой стороны

В результате аффинных преобразований различных треугольников можно достаточно четко проследить изменения F по рисунку 4.2. Однако, кроме данных преобразований треугольных областей существуют и другие. Например, возможен вариант преобразования равнобедренного треугольника в прямоугольный в результате поворота его правой боковой стороны вокруг точки «d» (рисунок 4.3). В ходе данного преобразования вершина получаемых треугольников перемещается по линии, являющейся продолжением левой боковой стороны заданного треугольника. При этом получаются последовательно характерные формы треугольников: прямоугольный (схема «б»), равнобедренный остроугольный (схема «в»), прямоугольный (схема «г»). Данное преобразование изображено на рисунке 4.2,а в виде пунктирной кривой, имеющей экстремум на пересечении с граничной кривой 2-3.

4.2

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников:

  1. Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
  2. Расчет пластинок в виде частей круга методом масштабирования
  3. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  4. 2.15 Выбор аппроксимирующей функции для пластинок с жестко защемленным и шарнирно опертым контуром
  5. Приближенные методы решения задач технической теории пластинок
  6. § 2. Надлежащие основания для отмены арбитражного решения. Применение Европейской Конвенции 1961 года
  7. § 2. Последствия исключения отмены арбитражного решения из перечня оснований для отказа в его признании и приведении в исполнение
  8. Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019, 2019
  9. 3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб - основная частота колебаний в упругих пластинках
  10. Генезис теоретических представлений о персональных финансах[3]
  11. Глава II. Зависимость между признанием и приведением в исполнение отмененного арбитражного решения и признанием судебного акта, отменяющего такое решение, в зарубежной судебной практике и доктрине
  12. Жестко защемленные пластинки в виде кругового сектора
  13. Жестко защемленные пластинки в виде кругового сегмента
  14. Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сектора
  15. Жестко защемленные пластинки в виде симметричных и несимметричных круговых луночек
  16. Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сегмента
  17. 2.16.1 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с жестко защемленным контуром
  18. Шарнирно опертые пластинки в виде круга с двумя отсеченными сегментами, симметричными относительно диаметра
  19. Жестко защемленные пластинки в виде круга с двумя отсеченными сегментами, симметричными относительно диаметра
  20. Взаимосвязь интегральных физических характеристик пластинок с коэффициентом формы