<<
>>

Геометрические методы

Г еометрические методы решения двумерных задач строительной механики являются весьма перспективными приближенными методами. Возможность иссле­дования сложных физических проблем с помощью геометрических методов, когда решение сложной физической проблемы сводится к решению элементарной гео­метрической задачи, постоянно привлекала внимание ученых.

Поэтому геометри­ческие методы являются достаточно распространенными в любой области знаний, и в том числе в строительной механике.

То, что физические характеристики изучаемых объектов зависят от их гео­метрических размеров и формы, является непреложной истиной, известной лю­бому исследователю. В окончательные расчетные формулы при использовании точных и приближенных методов решения любых физических задач входят геомет­рические характеристики - это размеры объекта (длина, ширина, толщина) и их производные величины (площадь, объем), площадь поперечного сечения стержней, характеристики сечения (статические моменты, моменты инерции, моменты сопро­тивления) и др. Все производные геометрические характеристики объектов иссле­дования могут быть выражены через основные параметры - длина, ширина и тол­щина. Поэтому существующие окончательные расчетные формулы можно предста­вить в виде зависимости «физическая характеристика - основные геометрические

параметры». А вот влияние формы объекта на его физические характеристики вы­явить очень сложно, ввиду того, что форму объекта до настоящего времени невоз­можно было представить в виде числа или хотя бы элементарной зависимостью от геометрических размеров.

При исследовании некоторой совокупности объектов, связанных каким- либо одним (или несколькими) геометрическим параметром (например, прямо­угольные пластинки, характеризуемые отношением их сторон) ученые пытаются связать изучаемые физические характеристики с этим параметром с целью унифи­кации расчетных формул.

Это редко удается сделать, поскольку исследуемые зави­симости являются весьма сложными. Подтверждением тому является множество табличных данных для объектов определенного класса (треугольные, параллело- граммные области и др. [10, 13, 21, 100, 111]), приводимых в справочной литера­туре, которые получены, как правило, приближенными методами.

Одним из известных элементарных геометрических методов является метод фокусных отношений в строительной механике стержневых систем [35, 110]. В этом методе положение фокусов (точек пересечения эпюры изгибающих моментов с осью многопролетной статически неопределимой балки) в незагруженных проле­тах характеризуется фокусными отношениями, которые определяются независимо от вида приложенной нагрузки в загруженном пролете, исходя только из длин про­летов балки. Так же, в зависимости только от геометрических размеров балки, определяются и опорные моменты в загруженных пролетах.

Методы физико-механического моделирования строительных конструкций напрямую относятся к геометрическим методам [11, 23, 119]. При их применении часто используются свойства аффинного подобия в теории упругих изотропных пластинок, а также неоднородных анизотропных упругих, упруго-пластических и упруго-вязких пластинок и оболочек [36, 37]. В этой связи к геометрическим мето­дам можно отнести все экспериментальные методы исследования физических за­дач, особенно тех, которые используют закономерности моделирования, основан­ные на геометрическом и физико-механическом подобии [11, 23, 88, 99, 112, 119].

Весьма эффективным геометрическим методом является кинематический метод предельного равновесия теории пластинок и оболочек [19, 26, 102, 106, 107].

Сущность этого метода заключается в выборе кинематически допустимой схемы разрушения пластинок и оболочек и определении разрушающей нагрузки в зависи­мости от какого-либо геометрического параметра, характерного для этой схемы разрушения. Линии излома в выбранной схеме разрушения пластинок и оболочек в момент достижения предельного состояния являются пластическими цилиндри­ческими шарнирами.

Наименьшая предельная нагрузка определяется с использова­нием кинематической предельной теоремы путем оптимизации этой схемы разру­шения по заданному геометрическому параметру. Кинематическим методом пре­дельного равновесия определяют верхнюю границу несущей способности кон­струкций.

К геометрическим методам можно отнести широко известные приближен­ные численные методы решения задач строительной механики и теории упругости - это метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) [1, 84, 85, 101, 103, 108]. В их основу положены геометрические идеи, связанные с дис­кретизацией сплошного континуума на совокупность определенным образом со­единенных элементов, представляющих собой структурную схему исследуемого объекта. Эти методы позволяют свести решение физической задачи к решению си­стем линейных алгебраических уравнений, число которых зависит от степени дис­кретизации объекта.

МКР и МКЭ являются универсальными приближенными методами, кото­рые позволяют решить практически любую физическую задачу. Однако они не ли­шены недостатков. Основным из них является зависимость точности решения от степени дискретизации объекта, чем больше число разбиений, тем выше точность. Однако это утверждение справедливо до определенных пределов: известны иссле­дования [141], когда при высокой степени дискретизации объекта получаются ре­шения, противоречащие физическому смыслу. Это в первую очередь относится к задачам, связанным с острыми углами (например, параллелограммные, треуголь­ные и трапециевидные пластинки).

Другой недостаток этих методов заключается в большой трудоемкости представления и ввода исходных данных для решения исследуемых задач на ЭВМ.

Для объектов сложного вида этот недостаток является весьма ощутимым. Незначи­тельные ошибки проектировщика при вводе исходных данных могут вылиться в серьезные ошибки при получении окончательного результата.

Но главным недостатком этих методов, является то, что получаемое реше­ние относится к одному конкретному объекту и выражается числом.

Анализ полу­ченного результата затруднен. Только при наличии известных решений подобных задач можно осуществить какое-либо сравнение результатов и их анализ. Физиче­ская сущность явления размыта, она не связана никакой аналитической зависимо­стью с геометрическими размерами объекта и с физико-механическими характери­стиками материала.

Методы функции комплексного переменного [90, 91] можно также отнести к геометрическим методам теории упругости. При их использовании исследуемая плоская область с помощью комплексного переменного отображается на внутрен­ность круга, а решения подавляющего числа задач, связанных с кругом, известны. Обратным преобразованием известное решение для круга, переносится на задан­ную область. Эти методы обладает большой математической сложностью и требует от расчетчика высокой математической эрудиции.

В теории упругих пластинок известен метод компенсирующих нагрузок [48], который также можно отнести к геометрическим методам. При использовании этого метода применяется геометрический прием замены заданной области распре­деления нагрузки некоторыми другими областями, решения для которых известны, либо отыскиваются более просто.

Метод компенсирующих нагрузок можно считать аналогом метода расши­рения заданной системы [7]. При его использовании вместо заданной области (например, пластинки) выбирается другая расширенная область, которая целиком включает в себя исходную. Новая область, в пределах заданной, нагружена также как и заданная, а контурные напряжения в расширенной области тождественны контурным нагрузкам в заданной области. При этом отпадает необходимость в со­ставлении уравнений относительно контурных и законтурных точек, что приводит к существенному снижению порядка системы алгебраических уравнений и, что не менее важно, к повышению точности искомого решения по сравнению с МКР.

Геометрический прием расширения (сужения) заданной области использо­вал Л. Роотс при исследовании задач устойчивости пластинок с жестко защемлен­ным контуром [104, 105]. В этих работах доказывается теорема о том, что критиче­ское усилие для некоторой защемленной пластинки всегда меньше (или равно) кри­тического усилия пластинки в виде любой из ее частей, если последнюю рассмат­ривать как самостоятельную жестко защемленную пластинку.

При разработке способов расчета пластинок и оболочек, густо подкреплен­ных ребрами жесткости, иногда используется геометрический прием «размазыва­ния» высоты ребер по их толщине [100, 114]. Такой прием позволяет свести реше­ние этих сложных задач к расчету ортотропных пластинок и оболочек

Геометрические методы используются не только в упругих задачах строи­тельной механики и теории упругости, но и в задачах нелинейной теории упругих оболочек [95, 96]. В связи с тем, что в оболочках со значительными изменениями первоначальной формы от действия внешних нагрузок срединная поверхность близка к формам его изометрического преобразования. Поэтому поиск решения ва­риационной задачи для функционала полной потенциальной энергии может быть ограничен рассмотрением изометрических форм, совместимых с условием закреп­ления. Поиск изометрических форм, близких к деформированной поверхности обо­лочки, как правило, подсказывается опытом конструктора.

К чисто геометрическим методам относятся изопериметрический метод (ИЗПМ) и метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), которые интен­сивно развиваются в последние десятилетия.

1.3

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Геометрические методы:

  1. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  2. Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019, 2019
  3. 1.4.1 Интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы)
  4. Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
  5. Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
  6. Метод интерполяции по коэффициенту формы
  7. Изопериметрический метод
  8. 1.2.1 Вариационные методы
  9. 3. Понятие и виды методов государственно-управленческой деятельности
  10. 3.2 Метод дифференциальной коноскопии.
  11. Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
  12. Метод формирования тремерной рабочей сцены при использовании нескольких оптико-электронных датчиков
  13. Методы вычисления параметров и сопоставления характерных точек объектов
  14. Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики
  15. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ РАБОЧЕЙ СЦЕНЫ
  16. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов
  17. Перевод как герменевтический метод понимания текста
  18. ФОРМЫ И МЕТОДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ