<<
>>

Геометрические методы

Г еометрические методы решения двумерных задач строительной механики являются весьма перспективными приближенными методами. Возможность иссле­дования сложных физических проблем с помощью геометрических методов, когда решение сложной физической проблемы сводится к решению элементарной гео­метрической задачи, постоянно привлекала внимание ученых. Поэтому геометри­ческие методы являются достаточно распространенными в любой области знаний, и в том числе в строительной механике.

То, что физические характеристики изучаемых объектов зависят от их гео­метрических размеров и формы, является непреложной истиной, известной лю­бому исследователю.

В окончательные расчетные формулы при использовании точных и приближенных методов решения любых физических задач входят геомет­рические характеристики - это размеры объекта (длина, ширина, толщина) и их производные величины (площадь, объем), площадь поперечного сечения стержней, характеристики сечения (статические моменты, моменты инерции, моменты сопро­тивления) и др. Все производные геометрические характеристики объектов иссле­дования могут быть выражены через основные параметры - длина, ширина и тол­щина. Поэтому существующие окончательные расчетные формулы можно предста­вить в виде зависимости «физическая характеристика - основные геометрические

параметры». А вот влияние формы объекта на его физические характеристики вы­явить очень сложно, ввиду того, что форму объекта до настоящего времени невоз­можно было представить в виде числа или хотя бы элементарной зависимостью от геометрических размеров.

При исследовании некоторой совокупности объектов, связанных каким- либо одним (или несколькими) геометрическим параметром (например, прямо­угольные пластинки, характеризуемые отношением их сторон) ученые пытаются связать изучаемые физические характеристики с этим параметром с целью унифи­кации расчетных формул. Это редко удается сделать, поскольку исследуемые зави­симости являются весьма сложными. Подтверждением тому является множество табличных данных для объектов определенного класса (треугольные, параллело- граммные области и др. [10, 13, 21, 100, 111]), приводимых в справочной литера­туре, которые получены, как правило, приближенными методами.

Одним из известных элементарных геометрических методов является метод фокусных отношений в строительной механике стержневых систем [35, 110]. В этом методе положение фокусов (точек пересечения эпюры изгибающих моментов с осью многопролетной статически неопределимой балки) в незагруженных проле­тах характеризуется фокусными отношениями, которые определяются независимо от вида приложенной нагрузки в загруженном пролете, исходя только из длин про­летов балки. Так же, в зависимости только от геометрических размеров балки, определяются и опорные моменты в загруженных пролетах.

Методы физико-механического моделирования строительных конструкций напрямую относятся к геометрическим методам [11, 23, 119]. При их применении часто используются свойства аффинного подобия в теории упругих изотропных пластинок, а также неоднородных анизотропных упругих, упруго-пластических и упруго-вязких пластинок и оболочек [36, 37]. В этой связи к геометрическим мето­дам можно отнести все экспериментальные методы исследования физических за­дач, особенно тех, которые используют закономерности моделирования, основан­ные на геометрическом и физико-механическом подобии [11, 23, 88, 99, 112, 119].

Весьма эффективным геометрическим методом является кинематический метод предельного равновесия теории пластинок и оболочек [19, 26, 102, 106, 107].

Сущность этого метода заключается в выборе кинематически допустимой схемы разрушения пластинок и оболочек и определении разрушающей нагрузки в зависи­мости от какого-либо геометрического параметра, характерного для этой схемы разрушения. Линии излома в выбранной схеме разрушения пластинок и оболочек в момент достижения предельного состояния являются пластическими цилиндри­ческими шарнирами. Наименьшая предельная нагрузка определяется с использова­нием кинематической предельной теоремы путем оптимизации этой схемы разру­шения по заданному геометрическому параметру. Кинематическим методом пре­дельного равновесия определяют верхнюю границу несущей способности кон­струкций.

К геометрическим методам можно отнести широко известные приближен­ные численные методы решения задач строительной механики и теории упругости - это метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) [1, 84, 85, 101, 103, 108]. В их основу положены геометрические идеи, связанные с дис­кретизацией сплошного континуума на совокупность определенным образом со­единенных элементов, представляющих собой структурную схему исследуемого объекта. Эти методы позволяют свести решение физической задачи к решению си­стем линейных алгебраических уравнений, число которых зависит от степени дис­кретизации объекта.

МКР и МКЭ являются универсальными приближенными методами, кото­рые позволяют решить практически любую физическую задачу. Однако они не ли­шены недостатков. Основным из них является зависимость точности решения от степени дискретизации объекта, чем больше число разбиений, тем выше точность. Однако это утверждение справедливо до определенных пределов: известны иссле­дования [141], когда при высокой степени дискретизации объекта получаются ре­шения, противоречащие физическому смыслу. Это в первую очередь относится к задачам, связанным с острыми углами (например, параллелограммные, треуголь­ные и трапециевидные пластинки).

Другой недостаток этих методов заключается в большой трудоемкости представления и ввода исходных данных для решения исследуемых задач на ЭВМ.

Для объектов сложного вида этот недостаток является весьма ощутимым. Незначи­тельные ошибки проектировщика при вводе исходных данных могут вылиться в серьезные ошибки при получении окончательного результата.

Но главным недостатком этих методов, является то, что получаемое реше­ние относится к одному конкретному объекту и выражается числом. Анализ полу­ченного результата затруднен. Только при наличии известных решений подобных задач можно осуществить какое-либо сравнение результатов и их анализ. Физиче­ская сущность явления размыта, она не связана никакой аналитической зависимо­стью с геометрическими размерами объекта и с физико-механическими характери­стиками материала.

Методы функции комплексного переменного [90, 91] можно также отнести к геометрическим методам теории упругости. При их использовании исследуемая плоская область с помощью комплексного переменного отображается на внутрен­ность круга, а решения подавляющего числа задач, связанных с кругом, известны. Обратным преобразованием известное решение для круга, переносится на задан­ную область. Эти методы обладает большой математической сложностью и требует от расчетчика высокой математической эрудиции.

В теории упругих пластинок известен метод компенсирующих нагрузок [48], который также можно отнести к геометрическим методам.

При использовании этого метода применяется геометрический прием замены заданной области распре­деления нагрузки некоторыми другими областями, решения для которых известны, либо отыскиваются более просто.

Метод компенсирующих нагрузок можно считать аналогом метода расши­рения заданной системы [7]. При его использовании вместо заданной области (например, пластинки) выбирается другая расширенная область, которая целиком включает в себя исходную. Новая область, в пределах заданной, нагружена также как и заданная, а контурные напряжения в расширенной области тождественны контурным нагрузкам в заданной области. При этом отпадает необходимость в со­ставлении уравнений относительно контурных и законтурных точек, что приводит к существенному снижению порядка системы алгебраических уравнений и, что не менее важно, к повышению точности искомого решения по сравнению с МКР.

Геометрический прием расширения (сужения) заданной области использо­вал Л. Роотс при исследовании задач устойчивости пластинок с жестко защемлен­ным контуром [104, 105]. В этих работах доказывается теорема о том, что критиче­ское усилие для некоторой защемленной пластинки всегда меньше (или равно) кри­тического усилия пластинки в виде любой из ее частей, если последнюю рассмат­ривать как самостоятельную жестко защемленную пластинку.

При разработке способов расчета пластинок и оболочек, густо подкреплен­ных ребрами жесткости, иногда используется геометрический прием «размазыва­ния» высоты ребер по их толщине [100, 114]. Такой прием позволяет свести реше­ние этих сложных задач к расчету ортотропных пластинок и оболочек

Геометрические методы используются не только в упругих задачах строи­тельной механики и теории упругости, но и в задачах нелинейной теории упругих оболочек [95, 96]. В связи с тем, что в оболочках со значительными изменениями первоначальной формы от действия внешних нагрузок срединная поверхность близка к формам его изометрического преобразования. Поэтому поиск решения ва­риационной задачи для функционала полной потенциальной энергии может быть ограничен рассмотрением изометрических форм, совместимых с условием закреп­ления. Поиск изометрических форм, близких к деформированной поверхности обо­лочки, как правило, подсказывается опытом конструктора.

К чисто геометрическим методам относятся изопериметрический метод (ИЗПМ) и метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), которые интен­сивно развиваются в последние десятилетия.

1.3

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Геометрические методы:

  1. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  2. Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019, 2019
  3. 1.4.1 Интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы)
  4. Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
  5. Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
  6. Метод интерполяции по коэффициенту формы
  7. Изопериметрический метод
  8. 1.2.1 Вариационные методы
  9. 3.2 Метод дифференциальной коноскопии.
  10. Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
  11. Методы вычисления параметров и сопоставления характерных точек объектов
  12. Метод формирования тремерной рабочей сцены при использовании нескольких оптико-электронных датчиков
  13. Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики
  14. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов
  15. Перевод как герменевтический метод понимания текста
  16. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ РАБОЧЕЙ СЦЕНЫ
  17. II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
  18. Расчет пластинок в виде частей круга методом масштабирования