<<
>>

3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб - основная частота колебаний в упругих пластинках

Для упругих пластинок с любыми граничными условиями, изготовленных из изотропного материала и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, максимальный прогиб определяется по формуле

а основная частота собственных колебаний ненагруженных пластинок - по формуле

Здесь α и β2- коэффициенты пропорциональности, зависящие от вида граничных условий.

Оба параметра Wo и ω зависят от одних и тех же геометрических и физических характеристик пластинок А, D, поэтому вполне очевидно, что между ними возможна функциональная связь. Однако до настоящего времени исследований в этом направлении не проводилось. Известны лишь работы В.И. Коробко [67], в которых показано, что для упругих изотропных пластинок с произвольными граничными условиями справедливо неравенство

где левое равенство достигается для бесконечно вытянутых пластинок (балок), а правое - для круглых пластинок.

Рассмотрим таблицу 3.1, где приведены значения максимального прогиба и основной частоты колебаний некоторых пластинок с идеальными однородными граничными условиями (либо шарнирное опирание по всему контуру, либо жесткое защемление). Выбор форм пластинок в этой таблице обусловлен наличием известных точных решений, приводимых в справочной литературе.

Таблица 3.1 — Сопоставление максимального прогиба и основной частоты колебаний пластинок с однородными граничными условиями

Вид пластинки Известные решения Решения по (3.1) Решения по (3.2)
α β2 α Δw, % β2 Δ , %
1 2 3 4 5 6 7
В виде равностороннего тр-ка Ш 0,003086 22,79 0,0003079 0,23 22,87 0,35
В виде равностороннего тр-ка Ж 0,000880 42,51 0,000879 0,11 42,47 0,09
Квадратная Ш 0,004060 19,74 0,004061 0,02 19,66 0,41
Квадратная Ж 0,001262 35,72 0,001272 0,79 35,68 0,11
Круглая Ш 0,006454 15,64 0,006457 0,05 15,64 0,00
Круглая Ж 0,001583 32,08 0,001582 0,06 32,01 0,22
Прямоугольная (а/b = 10) Ш 0,000130 98,70 0,000130 0,00 99,35 0,66

По этим данным с помощью программного комплекса TableCurve построены аппроксимирующие функции

которые позволяют по известной частоте колебаний определять максимальный прогиб пластинки, а по максимальному прогибу - основную частоту колебаний.

Сравнение результатов, подсчитанных по формулам (3.3) и (3.4), с известными решениями (таблица 3.1, столбцы 5 и 7) показывает, что полученные аппроксимирующие функции с высокой точностью удовлетворяют известным решениям. На рисунке 3.1-а функция (3.3) представлена графически, а на рисунке 3.1-б она построена в логарифмических координатах. Как видно, в логарифмических координатах эта функция практически вырождается в прямую линию.

а) б)

Поскольку на одной кривой расположились решения для пластинок с полностью шарнирно опертым и полностью жестко защемленным контуром, то, очевидно, следует ожидать, что известные решения для пластинок с комбинированными граничными условиями будут также хорошо описываться функцией (3.3). Проверим это предположение на примере прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями. Необходимые исходные данные и результаты сравнения приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 — Сопоставление максимального прогиба и основной частоты

колебаний пластинок с комбинированными граничными условиями

Вид пластинки Известные решения Решения по (3.3) Решения по (3.4)
а/b граничные условия α β2 α Δ, % β2 Δ, %
1 Ш, Ш, Ш, Ш 0,00406 19,74 0,00405 0,25 19,70 0,20
Ж, Ш, Ш, Ш 0,00281 23,64 0,00287 2,13 23,97 1,40
Ж, Ш, Ш, Ж 0,00230 26,03 0,00238 3,48 26,57 2,07
Ж, Ж, Ш, Ш 0,00192 28,92 0,00194 1,04 28,09 2,87
Ж, Ж, Ж, Ш 0,00157 31,37 0,00164 4,45 32,13 2,42
Ж, Ж, Ж, Ж 0,00126 35,72 0,00126 0 35,77 0,14
2 Ш, Ш, Ш, Ш 0,002533 24,67 0,002643 4,34 25,30 2,49
Ж, Ш, Ш, Ш 0,002325 25,83 0,002418 4,00 26,43 2,32
Ж, Ш, Ш, Ж 0,002110 27,40 0,002156 2,18 27,75 1,28
Ш, Ж, Ш, Ш 0,001225 35,37 0,001289 5,22 36,25 2,46

Ж, Ж, Ш, Ш 0,001169 36,33 0,001220 4,36 37,09 2,09
Ж, Ж, Ж, Ш 0,001230 37,07 0,001170 4,88 36,19 2,37
Ш, Ж, Ш, Ж 0,000650 48,25 0,000666 2,46 48,74 1,02
Ж, Ж, Ш, Ж 0,000643 48,96 0,000645 0,31 48,96 0
Ж, Ж, Ж, Ж 0,000635 49,16 0,000639 0,63 49,23 0,14
Примечания:

1. Для обозначения вида граничных условий на кромках пластинки приняты следующие обозначения: Ш - шарнирное опирание, Ж - жесткое защемление.

Обход контура осуществляется слева направо по часовой стрелке.

2. Значения исходных данных заимствованы из работы [67].

Анализ приведенных в таблице результатов показывает, что кривые (4) и (5) с хорошей точностью описывают известные решения и для пластинок с комбинированными граничными условиями. Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство: в таблице 3.1 приведены в большинстве своем известные точные решения, а таблице 3.2 многие решения получены приближенными способами. Очевидно, этим можно объяснить более высокую погрешность во втором случае.

Приведем иллюстрацию использования зависимостей (3.3) и (3.4).

Определение частот колебаний эллиптических пластинок

В учебной литературе приводится точное решение задачи о поперечном изгибе эллиптической жестко защемленной пластинки равномерно распределенной нагрузкой [1], которое было представлено в изопериметрическом виде в работе [67]:

где Kf- коэффициент формы эллипса, определяемый по формуле

K = π(a∕b + b∕a).

Подставляя значение параметра α из (3.5) в выражения (3.4), найдем частоты колебаний для эллиптической жестко защемленной пластинки при различных соотношениях а/b.

Таблица 3.3 -Определение основной частоты колебаний эллиптических шарнирно опертых пластинок по величине максимального прогиба (ν = 0,3)

Пара

метры

Характеристика пластинки, a/b
1 0,707 0,5 0,2
α 0,006454 0,00518 0,00366 0,00078
β2 15,64 17,21 20,83 45,08

Для эллиптических

шарнирно опертых пластинок в справочной литературе

приводится ряд решений, полученных приближенными методами (таблица 3.3, строка 1). Подставляя значения

параметра α в выражение (3.4), получим соответствующие значения параметра β2(строка 2).

3.2

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме 3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб - основная частота колебаний в упругих пластинках:

  1. МЕТОД МАСШТАБИРОВАНИЯ ПРИ ОЦЕНКЕ ЖЕСТКОСТИ И ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ПЛАСТИНОК
  2. 2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей
  3. Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников
  4. Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики
  5. Построение матрицы упругости
  6. Жестко защемленные пластинки в виде кругового сектора
  7. Генезис теоретических представлений о персональных финансах[3]
  8. Зависимость пропускания, поглощения и рассеяния света от объемных дефектов структуры и оптической однородности кристаллов.
  9. Описание деформаций бетона при заданных секущих параметрах упругости
  10. Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сегмента
  11. Жестко защемленные пластинки в виде кругового сегмента
  12. Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сектора
  13. Жестко защемленные пластинки в виде круга с двумя отсеченными сегментами, симметричными относительно диаметра
  14. Шарнирно опертые пластинки в виде круга с двумя отсеченными сегментами, симметричными относительно диаметра
  15. Шарнирно опертые пластинки, форма которых является промежуточной между кругом и правильными многоугольниками
  16. Жестко защемленные пластинки в виде симметричных и несимметричных круговых луночек