<<
>>

Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики

При решении двумерных задач строительной механики (задач технической теории пластинок и мембран (поперечный изгиб, колебания и устойчивость), кру­чение упругих призматических стержней) используется математический аппарат теории упругости, который включает в себя [1, 92]:

- дифференциальные уравнения равновесия (6 шт.);

- условия на поверхности (3 шт.);

- геометрические соотношения - уравнения Коши - (6 шт.);

- уравнения неразрывности деформаций - уравнения Сен-Венана - (6 шт.);

- физические соотношения (обобщенный закон Гука) (6 шт).

Всего 27 уравнений, которые должны решаться совместно. При решении двумер­ных задач число совместно решаемых уравнений существенно сокращается за счет равенства нулю отдельных компонентов напряженно-деформируемого состояния исследуемых конструкций.

В особую группу двумерных задач строительной механики можно выделить упругие изотропные пластинки - тела призматической (или цилиндрической)

формы, у которых высота мала по сравнению с размерами основания. Считается, что и прогибы таких пластинок малы по сравнению с ее толщиной. Тория расчета таких пластинок называется технической теорией пластинок. Помимо указанных выше допущений в основу этой теории положен целый ряд упрощающих гипотез [1, 47, 93, 114]:

- напряжениями σz, возникающими вследствие взаимного сжатия горизон­тальных слоев пластинки, пренебрегают;

- элемент пластинки, перпендикулярный к ее срединной поверхности до де­формации, остается перпендикулярным к ней и после деформации (гипотеза Кирхгоффа-Лява).

С учетом этих гипотез расчет упругой изотропной пластинки сводится к ре­шению дифференциального уравнения равновесия (уравнения Софи Жермен) или

где w(x,y) - функция прогибов; q(x,y) - закон изменения нагрузки; 1- оператор

Лапласа

D - цилиндрическая жесткость пластинки, определяемая по формуле

Здесь Е - модуль упругости материала, Н - высота (толщина пластинки), ν - коэффициент Пуассона. Таким образом, для решения задачи по расчету пла­стинки необходимо найти функцию прогибов w(x,y), удовлетворяющую уравне­нию (1.1) и граничным условиям (условиям закрепления пластинки на контуре).

Известно лишь ограниченное число задач в технической теории пластинок, решение которых получено в законченном виде [10, 100, 111, 114]:

- эллиптическая жестко защемленная пластинка, нагруженная равномерной нагрузкой;

- круглая шарнирно опертая пластинка под действием равномерной

нагрузки и сосредоточенной силы;

- прямоугольная шарнирно опертая пластинка под действием равномерной нагрузки (решение в двойных тригонометрических рядах - решение Навье);

- прямоугольная пластинка, две противоположные стороны которой шар­нирно оперты, а две другие имеют любые граничные условия под действием про­извольной нагрузки (решение М. Леви);

- пластинка в виде равностороннего треугольника, нагруженная равномер­ной нагрузкой.

Огромное число важных для конструкторской практики задач не может быть решено точными методами, их обычно решают приближенно, большей ча­стью, численными методами.

При решении задач динамики пластинок [111, 113, 116, 117] необходимо найти функцию прогибов w(x,y,t), удовлетворяющую дифференциальному уравне­нию

где m - масса единицы площади пластинки; ω - частота собственных (свободных) колебаний, и граничным условиям. Если необходимо найти собственную частоту колебаний пластинки, то следует решать уравнение

В строительной механике упругих пластинок известно точное решение лишь задачи о свободных колебаниях прямоугольной шарнирно опертой пластинки и пластинок в виде равностороннего и прямоугольного треугольников [111].

При исследовании задач устойчивости пластинок [98, 100, 111] решают дифференциальное уравнение

где Nx, Nxyи Ny- усилия, действующие в плоскости пластинки и приложенные к ее контуру. Для равномерно сжатых по контуру пластинок усилием No это уравнение преобразуется к виду:

15

В технической теории пластинок известно лишь одно точное решение этой задачи

- прямоугольная шарнирно опертая по контуру пластинка под действием равно­мерной сжимающей нагрузки No [111].

1.2

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики:

  1. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  2. Приближенные методы решения задач технической теории пластинок
  3. Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019, 2019
  4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО РАСЧЕТУ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ
  5. 4.1. ПОСТАНОВКА И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
  6. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИКИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ НА ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ
  7. 2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей
  8. 3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб - основная частота колебаний в упругих пластинках
  9. Основные нерешенные проблемы в развитии МИКФ Цели и задачи диссертационной работы
  10. Глава II. Зависимость между признанием и приведением в исполнение отмененного арбитражного решения и признанием судебного акта, отменяющего такое решение, в зарубежной судебной практике и доктрине
  11. Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
  12. 2.16.1 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с жестко защемленным контуром
  13. Основные задачи и интегральные физические характеристики, рассматриваемые в работе
  14. Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с шарнирно опертым контуром
  15. Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
  16. Геометрические методы
  17. § 3. Последствия принятия второго арбитражного решения после отмены первоначального
  18. Изопериметрический метод