2.16.1 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с жестко защемленным контуром

Протестируем функцию (2.48) на двух примерах, основываясь на известных решениях задач поперечного изгиба пластинок в виде симметричных круговых лу­ночек и прямоугольных пластинок.

Пластинки в виде симметричной круговой луночки

Для пластинок в виде симметричной круговой луночки (см. рис. 2.14) с жестко защемленным контуром известно точное решение задачи поперечного из­гиба в случае действия равномерно распределенной нагрузки [55]. Это решение

представляется в виде формулы, в которую входит несобственный интеграл, в об­щем случае не решаемый в квадратурах:

где λ - некоторый параметр, изменяющийся от нуля до бесконечности. Для полу­чения численных результатов при расчете пластинок конкретного вида приходится прибегать к численному интегрированию. В таблице 2.11 (строка 2) приведены чис­ленные решения этой задачи для некоторых углов γ, а в строке 3 эти результаты приведены к площади пластинки А.

Подбирая функцию вида (2.48) по двум опорным решениям для γ = 90^о и γ = 60^о, получим:

Результаты расчета по этой формуле приведены в таблице 2.11 (строка 4), а резуль­таты сопоставления с точными решениями в строке 5. Если подобрать такую же функцию по двум опорным решениям для γ = 90^о и γ = 45^о, то получим:

Результаты расчета по этой формуле приведены в строке 6, а сравнение с точными решениями в строке 7.

Сопоставляя результаты приведенного сравнения, можно рекомендовать для практического применения выражение (2.51), подставив в него формулу (2.15) для определения Kf круговых симметричных луночек:

В работе [25] для пластинок в виде симметричных круговых луночек была предложена аппроксимирующая функция

Таблица 2.11 — Результаты сравнительных расчетов жестко защемленной

пластинки в виде симметричной круговой луночки

Примечания: 1. Значения [woo] получены при λ = 2000.

длины луночки. 3. Площадь луночки подсчитывается по формуле А =2а²(β∕sin²γ - clgγ} где угол β подставляется в радианах.

В этом выражении перед скобкой стоит значение максимального прогиба для круглой пластинки. Нетрудно видеть, что эта функция удовлетворяет автома­тически решению для круглой пластинки (sinγ = 1) при любом значении параметра n. Если подобрать параметр n по опорному решению, соответствующему γ = 60^о, то получим:

Решения, полученные по этой формуле, приведены в таблице 2.11 (строка 8), а их сравнение с точными - в строке 9.

Прямоугольные пластинки

В таблице 2.12 (строка 2) записаны известные решения для прямоугольной пластинки [43], а в строке 3 они приведены к площади А.

Подбирая функцию вида (2.33) по двум опорным решениям для a/b = 1 и a/b = 2, получим:

Результаты расчета по этой формуле приведены в таблице 2.12 (строка 4), а сопо­ставления с точными решениями в строке 5.

Таблица 2.12 — Результаты сравнительных расчетов жестко защемленной

прямоугольной пластинки

Подбирая функцию вида (2.48) по этим же опорным решениям, получим:

Результаты расчета по этой формуле приведены в строке 6, а сопоставления с точ­ными решениями - в строке 7.

Подбирая функцию вида (2.42) по этим же опорным решениям, получим:

Результаты расчета по этой формуле приведены в строке 8, а сопоставления с точ­ными решениями - в строке 9.

Анализируя результаты сопоставления, приходим к выводу, что функция вида (2.48) дает лучшее приближение к известным решениям. Поэтому для жестко защемленных пластинок далее будем использовать именно такую функцию для ап­проксимации решений пластинок определенного вида, связанных одним непрерыв­ным геометрическим преобразованием.

2.16.2