2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей
Как уже было сказано выше в п. 2.13 для описания изменения интегральных физических характеристик ограниченного подмножества областей, объединенных
одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, предложена степенная функция вида (2.29), в которой неизвестными являются два параметра К и n.
Для их определения необходимо знание хотя бы двух «опорных» решений для двух областей из рассмотренного подмножества. Если опорные решения известны:
(где F1 и F2 - значения обобщенных интегральных физических характеристик для опорных пластинок; Kf1 и Kf2 - их коэффициенты формы), то из них нетрудно найти значение параметра n:
После этого определяется значение параметра К путем подстановки n в любое из выражений (2.32):
Подставляя найденные параметры n и К в формулу (2.29), окончательно получим: или
При практической реализации этого приема в большинстве случаев опорные решения могут быть найдены из граничных кривых, подобных тем, что представлены на рисунках 2.19 и 2.21. Таким образом, для использования рассмотренного способа необходимо предварительно построить граничные кривые, ограничивающие область распределения интегральных физических характеристик пластинок, принадлежащих определенному подмножеству форм (треугольные, трапециевидные, секториальные, сегментные и т.п.), для граничных условий определенного вида для всех рассматриваемых задач теории пластинок.
Эти кривые строятся в виде аппроксимирующих функций по известным решениям из справочной илинаучной литературы, а если какие-то решения неизвестны, то их следует найти с использованием любого подходящего для этих целей способа (обычно это МКЭ).
Рассмотрим пример определения основной частоты колебаний для шарнирно опертой пластинки в виде равнобочной трапеции, у которой Кґ= 10. Выберем монотонное непрерывное геометрическое преобразование, при котором заданная трапеция получается из опорных фигур (прямоугольника и равностороннего треугольника) путем поворота боковых сторон прямоугольника вокруг вершин основания (рис. 2.22). Заданный прямоугольник имеет отношение сторон a/b = 0,866 и для него Кд = 8,0829 (см. формулу (1.14)), а ωι = 19,944/Dm (см. формулу
(2.36)). Для равностороннего треугольника Кґ2= 10,392 (см. формулу (1.14)) и ω2 =
Изменение частоты колебаний подмножества пластинок при выбранном геометрическом преобразовании происходит по непрерывной монотонной кривой 3-5, изображенной на рисунке 2.19. Искомое решение лежит на пересечении этой кривой с ординатой 1/Кґ= 0,1 в точке «а».
Подставляя необходимые параметры в
Подставляя необходимые параметры в формулу (2.36), получим для заданной пластинки:
Эта частота отличается от результата, полученного выше с помощью двусторонних изопериметрических неравенств более чем на 5%. Однако можно с уверенностью утверждать, что последний результат лучше, поскольку опорные решения, с помощью которых он получен, находятся ближе друг к другу. Нроме того, чисто из геометрических соображений ясно, что искомый результат должен быть близок
к опорному решению - пластинке в виде равностороннего треугольника.
При необходимости получить формулу для всего подмножества пластинок при выбранном геометрическом преобразовании ее следует записать в виде (2.33):
61
Рассмотрим еще один пример.
Пусть требуется определить основную частоту колебаний шарнирно опертой пластинки в виде прямоугольного треугольника с острыми углами а = 30о, γ = 60о (рис. 2.23-а). Для этого треугольника Kf = 12,928.Заданный треугольник можно получить путем аффинного сдвига параллельно основанию равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вершине β = 98,20о (а = 40,90о, Kf = 12,460) - это первая опорная фигура. Вторая опорная фигура при таком преобразовании (рис. 2.23-б) будет представлять собой равнобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине β = 25,66о (а = 77,17о, Kf = 13,795).
Рисунок 2.23
В работе [89] была построена граничная кривая для пластинок в виде равнобедренных треугольников:
По этой зависимости находим опорные решения:
Используя методику MHKΦ [52], получим:
62
Подставляя в эту формулу значение коэффициента формы для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника (Kf = 12,928), найдем:
что отличается на 1,89% от известного точного аналитического решения [21]:
Еще по теме 2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей:
- 3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб - основная частота колебаний в упругих пластинках
- 13. Запрещение, ограничение и отмена дарения.
- Построение двусторонних изопериметрических неравенств
- Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики
- § 1. Генезис принципа зависимости в теории и международной практике
- 2.4 Сегментация и построение контуров изображений объектов
- Логунова Марина Викторовна. Ограничения оборотоспособности земельных участков в публичных интересах. ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата юридических наук. Москва - 2019, 2019
- Построение матрицы упругости
- Зависимость пропускания, поглощения и рассеяния света от объемных дефектов структуры и оптической однородности кристаллов.
- Коэффициент формы области с выпуклым контуром
- ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ СХЕМЫ РАБОТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ
- 1. Правовое регулирование в области безопасности. Основные понятия
- 2. Органы исполнительной власти в области безопасности
- 3. Классификация органов исполнительной власти. Факторы, влияющие на построение системы органов
- 1. Содержание управления в области внутренних дел