2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных подмножеств областей

Как уже было сказано выше в п. 2.13 для описания изменения интегральных физических характеристик ограниченного подмножества областей, объединенных
одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, предло­жена степенная функция вида (2.29), в которой неизвестными являются два пара­метра К и n.

(где F1 и F2 - значения обобщенных интегральных физических характеристик для опорных пластинок; Kf1 и Kf2 - их коэффициенты формы), то из них нетрудно найти значение параметра n:

После этого определяется значение параметра К путем подстановки n в любое из выражений (2.32):

Подставляя найденные параметры n и К в формулу (2.29), окончательно получим: или

При практической реализации этого приема в большинстве случаев опор­ные решения могут быть найдены из граничных кривых, подобных тем, что пред­ставлены на рисунках 2.19 и 2.21. Таким образом, для использования рассмотрен­ного способа необходимо предварительно построить граничные кривые, ограничи­вающие область распределения интегральных физических характеристик пласти­нок, принадлежащих определенному подмножеству форм (треугольные, трапецие­видные, секториальные, сегментные и т.п.), для граничных условий определенного вида для всех рассматриваемых задач теории пластинок. Эти кривые строятся в виде аппроксимирующих функций по известным решениям из справочной или

научной литературы, а если какие-то решения неизвестны, то их следует найти с использованием любого подходящего для этих целей способа (обычно это МКЭ).

Рассмотрим пример определения основной частоты колебаний для шар­нирно опертой пластинки в виде равнобочной трапеции, у которой К_ґ= 10. Выбе­рем монотонное непрерывное геометрическое преобразование, при котором задан­ная трапеция получается из опорных фигур (прямоугольника и равностороннего треугольника) путем поворота боковых сторон прямоугольника вокруг вершин ос­нования (рис. 2.22). Заданный прямоугольник имеет отношение сторон a/b = 0,866 и для него Кд = 8,0829 (см. формулу (1.14)), а ωι = 19,944/Dm (см. формулу

(2.36)). Для равностороннего треугольника К_ґ2= 10,392 (см. формулу (1.14)) и ω₂ =

Изменение частоты колебаний подмноже­ства пластинок при выбранном геометрическом преобразовании происходит по непрерывной мо­нотонной кривой 3-5, изображенной на рисунке 2.19. Искомое решение лежит на пересечении этой кривой с ординатой 1/К_ґ= 0,1 в точке «а».

Подставляя необходимые параметры в

Подставляя необходимые параметры в формулу (2.36), получим для заданной пластинки:

Эта частота отличается от результата, полученного выше с помощью двусто­ронних изопериметрических неравенств более чем на 5%. Однако можно с уверен­ностью утверждать, что последний результат лучше, поскольку опорные решения, с помощью которых он получен, находятся ближе друг к другу. Нроме того, чисто из геометрических соображений ясно, что искомый результат должен быть близок

к опорному решению - пластинке в виде равностороннего треугольника.

При необходимости получить формулу для всего подмножества пластинок при выбранном геометрическом преобразовании ее следует записать в виде (2.33):

61

Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется определить основную частоту колебаний шарнирно опертой пластинки в виде прямоугольного треугольника с острыми углами а = 30^о, γ = 60^о (рис. 2.23-а). Для этого треугольника K_f = 12,928.

Заданный треугольник можно получить путем аффинного сдвига парал­лельно основанию равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вер­шине β = 98,20^о (а = 40,90^о, Kf = 12,460) - это первая опорная фигура. Вторая опор­ная фигура при таком преобразовании (рис. 2.23-б) будет представлять собой рав­нобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине β = 25,66^о (а = 77,17^о, Kf = 13,795).

Рисунок 2.23

В работе [89] была построена граничная кривая для пластинок в виде равно­бедренных треугольников:

По этой зависимости находим опорные решения:

Используя методику MHKΦ [52], получим:

62

Подставляя в эту формулу значение коэффициента формы для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника (Kf = 12,928), найдем:

что отличается на 1,89% от известного точного аналитического решения [21]: