1.4.1 Интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы)

Рассмотрим плоскую область D с выпуклым контуром (рис. 1.1). Опустим перпендикуляр h из произвольно расположенного полюса «а» на касательную к пе­ременной точке контура области. Контурный интеграл вида

где ds - линейный элемент границы области, называется коэффициентом формы области и может служить количественной мерой «правильности» любой области.

Для областей с криволинейным контуром коэффициент формы определя­ется зависимостью [97]:

2π∣

где r = r(φ) - полярное уравнение контура области с полюсом в точке «а». Для об­ластей с полигональным контуром из выражения (1.12) нетрудно получить зави­симость

где n - количество сторон многоугольника, а остальные обозначения понятны из рисунка 1.2. Для фигур с прямолинейными и криволинейными элементами контура для определения коэффициента формы используют комбинации формул (1.14) и (1.13):

Известно [173], что для выпуклой фигуры функции (1.12)...(1.15) имеют один глобальный экстремум, то есть minK_fa= K_f. Эта минимально возможное зна­чение коэффициента формы и будет использоваться в дальнейшем при исследова­нии конкретных задач строительной механики.

Используя приведенные зависимости (1.11)...(1.15), запишем формулы для

определения значений коэффициента формы для некоторых широко распростра­ненных в строительстве и машиностроении геометрических фигур, являющихся формообразующими элементами конструкций.

Изучая свойства коэффициента формы, А.В. Коробко в работе [53] доказал замечательную закономерность. Если представить распределение значений I