1.2.1 Вариационные методы

В технической теории пластинок широко используются так называемый ми­нимальный принцип [41, 45, 54]: положение равновесия любой механической си­стемы отвечает минимуму ее потенциальной энергии.

Вариационные методы основаны на различных вариационных принципах [12, 109, 126], из которых наиболее известен принцип Ж.Л. Лагранжа [30, 75, 111], используемый при решении задач в перемещениях. При реализации этого метода используется выражение для полной потенциальной энергии пластинки [75].

Потенциальная энергия системы для трех рассматриваемых задач записыва­ется с помощью следующих интегралов [98, 100, 114]:

- для задачи о поперечном изгибе пластинок -

- для задачи о свободных колебаниях пластинок -

- для задачи устойчивости пластинок при равномерном сжатии -

16

Также наиболее известными вариационными методами являются методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Тимошенко, Трефца [98].

Метод Ритца использует прямой путь нахождения разрешающей функции, сообщающий экстремум интегралам (1.7)...(1.9). Если выбрать в качестве такой функции ряд

где аі - неопределенные параметры, φ_i(x,y) - «подходящие» функции, удовлетворя­ющие граничным условиям, и подставить ее в интегралы (1.7)...(1.9), то получим простую функцию, зависящую от нескольких параметров.

Метод Ритца дает приближение искомой функции сверху. С помощью этого метода решено большое число задач поперечного изгиба, колебаний и устойчиво­сти упругих пластинок, например [130.132, 134, 135, 137, 138, 142, 143].

Метод Бубнова-Галеркина применяется для решения дифференциальных уравнений, суть которого покажем на одномерной задаче, которая приводится к ре­шению дифференциального уравнения

в интервале [a, b]. Искомую функцию задают в виде ряда

Неопределенные параметры а_інаходят из соотношений

которые являются линейными уравнениями относительно параметров а_і.

Б.Г. Галеркин еще в 1915 году применял этот метод к решению задач попе­речного и продольного изгиба балок и пластинок и указал на возможность его при­менения к динамическим задачам. Независимо от Галеркина немного позднее ана­логичный метод предложил И.Г Бубнов. Поэтому в научной литературе он получил название метода Бубнова-Галеркина.

Метод Бубнова-Галеркина носит более общий характер, он немного проще метода Ритца и применим к любым дифференциальным уравнениям.

Большое число задач технической теории пластинок решено этим методом, например [136, 139, 143].

Метод Тимошенко является модификацией метода Ритца, его предложил известный русский ученый С.П. Тимошенко в 1910 году для решения задач устой­чивости стержней и пластинок. Суть этого метода заключается в следующем. По­скольку в состоянии безразличного равновесия системы приращение энергии равно нулю, то интеграл (1.11) разбивают на два интеграла; один из них выражает энер­гию внутренних сил U = F₁(a₁, a₂, ...), а другой - энергию внешних силa₂, .).

и минимизируют это функционал по каждому из неопределенных параметров, со­ставляя условие

В методе Тимошенко, в отличие от методов Ритца и Бубнова-Галеркина, дифференциальные уравнения не используются.

Метод Треффца был предложен в 1926 году. При использовании этого ме­тода функции φ_i(x) и φ_i(x, у) выбираются в виде частных решений дифференциаль­ного уравнения рассматриваемой задачи [98]. В этом случае нет необходимости удовлетворять граничным условиям задачи. Неизвестные параметры ai определя­ются из условия минимума интеграла от градиента ошибки n-го приближения. Ме­тод Треффца дает приближение к искомой функции снизу.

В развитии вариационных методов решения задач строительной механики и теории упругости активное участие принимали российские ученые [86]: Б.Г. Галер­кин, Л.С. Лейбензон, А.Н. Динник, П.Ф. Папкович, Н.М. Крылов, Н.М. Боголюбов,

В.З. Власов, Л.В. Канторович. Помимо описанных выше методов известен метод Канторовича, который широко используется для решения задач теории пластин и оболочек [30]. В качестве примера применения метода Канторовича к решению за­дач теории пластинок, можно привести работу [133, 136].

В настоящее время при решении задач вариационными методами используют различные программы [20, 78].

Несмотря на существенные упрощения при использовании вариационных методов, их широкое применение для решения двумерных задач теории упругости затруднено для областей сложных форм (отличных от прямоугольника) и областей с комбинированными граничными условиями.

1.2.2