<<
>>

1.2.1 Вариационные методы

В технической теории пластинок широко используются так называемый ми­нимальный принцип [41, 45, 54]: положение равновесия любой механической си­стемы отвечает минимуму ее потенциальной энергии.

Поэтому проблема решения граничной задачи для дифференциальных уравнений теории пластинок оказыва­ется эквивалентной проблеме нахождения функции, дающей минимум интегралу, выражающему потенциальную энергию системы.

Вариационные методы основаны на различных вариационных принципах [12, 109, 126], из которых наиболее известен принцип Ж.Л. Лагранжа [30, 75, 111], используемый при решении задач в перемещениях. При реализации этого метода используется выражение для полной потенциальной энергии пластинки [75].

Потенциальная энергия системы для трех рассматриваемых задач записыва­ется с помощью следующих интегралов [98, 100, 114]:

- для задачи о поперечном изгибе пластинок -

- для задачи о свободных колебаниях пластинок -

- для задачи устойчивости пластинок при равномерном сжатии -

16

Также наиболее известными вариационными методами являются методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Тимошенко, Трефца [98].

Метод Ритца использует прямой путь нахождения разрешающей функции, сообщающий экстремум интегралам (1.7)...(1.9). Если выбрать в качестве такой функции ряд

где аі - неопределенные параметры, φi(x,y) - «подходящие» функции, удовлетворя­ющие граничным условиям, и подставить ее в интегралы (1.7)...(1.9), то получим простую функцию, зависящую от нескольких параметров.

Приравнивая затем нулю производные от «Э» по каждому из этих параметров, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно аі. Таких уравнений будет столько, сколько членов будет содержать ряд (1.10).

Метод Ритца дает приближение искомой функции сверху. С помощью этого метода решено большое число задач поперечного изгиба, колебаний и устойчиво­сти упругих пластинок, например [130.132, 134, 135, 137, 138, 142, 143].

Метод Бубнова-Галеркина применяется для решения дифференциальных уравнений, суть которого покажем на одномерной задаче, которая приводится к ре­шению дифференциального уравнения

в интервале [a, b]. Искомую функцию задают в виде ряда

Неопределенные параметры аінаходят из соотношений

которые являются линейными уравнениями относительно параметров аі.

Б.Г. Галеркин еще в 1915 году применял этот метод к решению задач попе­речного и продольного изгиба балок и пластинок и указал на возможность его при­менения к динамическим задачам. Независимо от Галеркина немного позднее ана­логичный метод предложил И.Г Бубнов. Поэтому в научной литературе он получил название метода Бубнова-Галеркина.

Метод Бубнова-Галеркина носит более общий характер, он немного проще метода Ритца и применим к любым дифференциальным уравнениям.

Большое число задач технической теории пластинок решено этим методом, например [136, 139, 143].

Метод Тимошенко является модификацией метода Ритца, его предложил известный русский ученый С.П. Тимошенко в 1910 году для решения задач устой­чивости стержней и пластинок. Суть этого метода заключается в следующем. По­скольку в состоянии безразличного равновесия системы приращение энергии равно нулю, то интеграл (1.11) разбивают на два интеграла; один из них выражает энер­гию внутренних сил U = F1(a1, a2, ...), а другой - энергию внешних силa2, .).

Здесь Ркр - критическая сила при потере устойчивости. Энергию системы приравнивают нулю

и минимизируют это функционал по каждому из неопределенных параметров, со­ставляя условие

В методе Тимошенко, в отличие от методов Ритца и Бубнова-Галеркина, дифференциальные уравнения не используются.

Метод Треффца был предложен в 1926 году. При использовании этого ме­тода функции φi(x) и φi(x, у) выбираются в виде частных решений дифференциаль­ного уравнения рассматриваемой задачи [98]. В этом случае нет необходимости удовлетворять граничным условиям задачи. Неизвестные параметры ai определя­ются из условия минимума интеграла от градиента ошибки n-го приближения. Ме­тод Треффца дает приближение к искомой функции снизу.

В развитии вариационных методов решения задач строительной механики и теории упругости активное участие принимали российские ученые [86]: Б.Г. Галер­кин, Л.С. Лейбензон, А.Н. Динник, П.Ф. Папкович, Н.М. Крылов, Н.М. Боголюбов,

В.З. Власов, Л.В. Канторович. Помимо описанных выше методов известен метод Канторовича, который широко используется для решения задач теории пластин и оболочек [30]. В качестве примера применения метода Канторовича к решению за­дач теории пластинок, можно привести работу [133, 136].

В настоящее время при решении задач вариационными методами используют различные программы [20, 78].

Несмотря на существенные упрощения при использовании вариационных методов, их широкое применение для решения двумерных задач теории упругости затруднено для областей сложных форм (отличных от прямоугольника) и областей с комбинированными граничными условиями.

1.2.2

<< | >>
Источник: Шляхов Станислав Владимирович. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК C КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Орёл - 2019. 2019

Еще по теме 1.2.1 Вариационные методы:

  1. Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
  2. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
  3. Геометрические методы
  4. Изопериметрический метод
  5. 3.2 Метод дифференциальной коноскопии.
  6. Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
  7. Методы вычисления параметров и сопоставления характерных точек объектов
  8. Метод интерполяции по коэффициенту формы
  9. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов
  10. Перевод как герменевтический метод понимания текста
  11. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ РАБОЧЕЙ СЦЕНЫ
  12. Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
  13. II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
  14. Метод формирования тремерной рабочей сцены при использовании нескольких оптико-электронных датчиков
  15. Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики
  16. Расчет пластинок в виде частей круга методом масштабирования
  17. Приближенные методы решения задач технической теории пластинок
  18. 3.4 Использование ИК метода для выявления структурных дефектов и оптической неоднородности.
  19. ГЛАВА 1. ПЕРЕВОД КАК МЕТОД ОСВОЕНИЯ СМЫСЛОВОЙ СИСТЕМЫ ТЕКСТА