1.2.1 Вариационные методы
В технической теории пластинок широко используются так называемый минимальный принцип [41, 45, 54]: положение равновесия любой механической системы отвечает минимуму ее потенциальной энергии.
Поэтому проблема решения граничной задачи для дифференциальных уравнений теории пластинок оказывается эквивалентной проблеме нахождения функции, дающей минимум интегралу, выражающему потенциальную энергию системы.Вариационные методы основаны на различных вариационных принципах [12, 109, 126], из которых наиболее известен принцип Ж.Л. Лагранжа [30, 75, 111], используемый при решении задач в перемещениях. При реализации этого метода используется выражение для полной потенциальной энергии пластинки [75].
Потенциальная энергия системы для трех рассматриваемых задач записывается с помощью следующих интегралов [98, 100, 114]:
- для задачи о поперечном изгибе пластинок -
- для задачи о свободных колебаниях пластинок -
- для задачи устойчивости пластинок при равномерном сжатии -
16
Также наиболее известными вариационными методами являются методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Тимошенко, Трефца [98].
Метод Ритца использует прямой путь нахождения разрешающей функции, сообщающий экстремум интегралам (1.7)...(1.9). Если выбрать в качестве такой функции ряд
где аі - неопределенные параметры, φi(x,y) - «подходящие» функции, удовлетворяющие граничным условиям, и подставить ее в интегралы (1.7)...(1.9), то получим простую функцию, зависящую от нескольких параметров.
Приравнивая затем нулю производные от «Э» по каждому из этих параметров, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно аі. Таких уравнений будет столько, сколько членов будет содержать ряд (1.10).Метод Ритца дает приближение искомой функции сверху. С помощью этого метода решено большое число задач поперечного изгиба, колебаний и устойчивости упругих пластинок, например [130.132, 134, 135, 137, 138, 142, 143].
Метод Бубнова-Галеркина применяется для решения дифференциальных уравнений, суть которого покажем на одномерной задаче, которая приводится к решению дифференциального уравнения
в интервале [a, b]. Искомую функцию задают в виде ряда
Неопределенные параметры аінаходят из соотношений
которые являются линейными уравнениями относительно параметров аі.
Б.Г. Галеркин еще в 1915 году применял этот метод к решению задач поперечного и продольного изгиба балок и пластинок и указал на возможность его применения к динамическим задачам. Независимо от Галеркина немного позднее аналогичный метод предложил И.Г Бубнов. Поэтому в научной литературе он получил название метода Бубнова-Галеркина.
Метод Бубнова-Галеркина носит более общий характер, он немного проще метода Ритца и применим к любым дифференциальным уравнениям.
Большое число задач технической теории пластинок решено этим методом, например [136, 139, 143].
Метод Тимошенко является модификацией метода Ритца, его предложил известный русский ученый С.П. Тимошенко в 1910 году для решения задач устойчивости стержней и пластинок. Суть этого метода заключается в следующем. Поскольку в состоянии безразличного равновесия системы приращение энергии равно нулю, то интеграл (1.11) разбивают на два интеграла; один из них выражает энергию внутренних сил U = F1(a1, a2, ...), а другой - энергию внешних силa2, .).
и минимизируют это функционал по каждому из неопределенных параметров, составляя условие
В методе Тимошенко, в отличие от методов Ритца и Бубнова-Галеркина, дифференциальные уравнения не используются.
Метод Треффца был предложен в 1926 году. При использовании этого метода функции φi(x) и φi(x, у) выбираются в виде частных решений дифференциального уравнения рассматриваемой задачи [98]. В этом случае нет необходимости удовлетворять граничным условиям задачи. Неизвестные параметры ai определяются из условия минимума интеграла от градиента ошибки n-го приближения. Метод Треффца дает приближение к искомой функции снизу.
В развитии вариационных методов решения задач строительной механики и теории упругости активное участие принимали российские ученые [86]: Б.Г. Галеркин, Л.С. Лейбензон, А.Н. Динник, П.Ф. Папкович, Н.М. Крылов, Н.М. Боголюбов,
В.З. Власов, Л.В. Канторович. Помимо описанных выше методов известен метод Канторовича, который широко используется для решения задач теории пластин и оболочек [30]. В качестве примера применения метода Канторовича к решению задач теории пластинок, можно привести работу [133, 136].
В настоящее время при решении задач вариационными методами используют различные программы [20, 78].
Несмотря на существенные упрощения при использовании вариационных методов, их широкое применение для решения двумерных задач теории упругости затруднено для областей сложных форм (отличных от прямоугольника) и областей с комбинированными граничными условиями.
1.2.2
Еще по теме 1.2.1 Вариационные методы:
- Анализ методов и устройств трехмерного технического зрения и методов калибровки
- ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
- Геометрические методы
- 3. Понятие и виды методов государственно-управленческой деятельности
- Изопериметрический метод
- 3.2 Метод дифференциальной коноскопии.
- Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы
- Методы вычисления параметров и сопоставления характерных точек объектов
- ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ РАБОЧЕЙ СЦЕНЫ
- Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов
- Перевод как герменевтический метод понимания текста
- ФОРМЫ И МЕТОДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ
- 1. Предмет и метод административного права
- Метод интерполяции по коэффициенту формы
- Метод формирования тремерной рабочей сцены при использовании нескольких оптико-электронных датчиков
- Метод масштабирования для пластинок в виде треугольников
- Раздел 5 «Функции, формы и методы государственного управления»
- II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
- Тема 9. Содержание, методы и формы государственного управления