<<
>>

3.4. Принцип неопределённости. Соотношение неопределённостей

После подтверждения волновых свойств частиц стало очевидным, что двойственная природа присуща любому объекту микромира, закономерности в котором поэтому должны быть принципиально иными, нежели в макромире.

Раздел физики, занимающийся изучением поведения объектов, обладающих двойственной природой, носит название квантовой механики (в зарубежной литературе принято название волновая механика). Подход к изучению физических явлений и язык квантовой механики существенно отличаются от привычных для нас классических представлений.

Классическая физика рассматривает явления, которые объясняются привычными, наглядными понятиями. Так, с движением корпускулы мы неразрывно связываем предположение, что она всегда обладает строго определённым импульсом и находится в строго определённой точке, т. е. имеет траекторию, точно заданную её законом движения. Покажем, что в квантовой механике точное определение координаты и соответствующего ей импульса невозможно. Это положение получило название принципа неопределённости.

Пусть мы хотим определить положение электрона оптическим путём, т. е. освещая его и наблюдая отражённый от него (рассеянный им) свет. Ясно, что из–за малости объекта мы должны использовать как можно более короткие волны, которые имеют, следовательно, кванты с большими энергией hn и импульсом h/l. Поэтому взаимодействие такого фотона с электроном приведёт к тому, что электрон получит значительную отдачу (см. рис. 3.7). То есть, пытаясь определить координату электрона, мы неизбежно изменим его импульс. Координата при этом также будет измерена с ошибкой порядка длины волны: Dx @ l.

Связь, которая существует между ошибкой в определении координаты и ошибкой в определении импульса носит название соотношения неопредёленностей. Установим это соотношение, рассмотрев следующий опыт (рис. 3.10):

Пусть электрон испытывает на узкой щели шириной Dx дифракцию, отклонившись на угол a.

Это явление описывается волновыми представлениями. Из главы, посвящённой дифракции света, известно условие минимумов при дифракции света на одной щели:
Dx sina = kl . (3.17)

Выразив длину волны электрона через импульс по формуле де Бройля (3.12), и оставив только наименьшее значение k, получим

, (3.18)

где p — импульс частицы, отклонившейся от прямого пути на угол a. Знак равенства относится к случаю минимального k = 1, знак "больше" — ко всем остальным k = 2, 3, 4, … При отклонении частица должна была получить дополнительный импульс Dрх, который может быть найден лишь приблизительно и вот почему. Переходя к описанию отклонения (дифракции) электрона как частицы, обладающей импульсом, мы можем утверждать, что электрон проник через щель, но в какой именно точке — мы не знаем. Поэтому ширина щели и есть для электрона неопределённость по координате. В связи с этим изменение импульса Dpх тоже точно не определимо: если электрон проходит возле верхнего края щели, то для попадания его в какую-либо точку экрана изменение импульса должно быть меньше, чем для электрона, прошедшего возле нижнего края и попавшего в ту же точку. Из рис. 3.10 следует:

, тогда Dpх Dx @ h. (3.19)

Полученное соотношение приблизительно потому, что при выводе его использован какой-то средний угол a, которому соответствует тоже среднее значение Dpх. Ширина щели Dx характеризует неопределённость положения электрона: он проник через щель, а в какой именно точке — неизвестно. Точная величина дополнительного импульса нам также неизвестна.

Поэтому Dx и называется неопределённостью по координате х (ошибкой в её определении), а Dpx — неопределённостью по импульсу (ошибкой в его определении) в проекции на эту координату. Связь между двумя неопределённостями называют соотношением неопределённостей Гейзенберга для координаты и импульса, по имени немецкого ученого, давшего вывод этого соотношения. Приведённые нами выше рассуждения нельзя считать выводом этого соотношения. Они дают ему только некоторое обоснование. Точный вывод даёт почти такое же соотношение:
. (3.20)

Физические величины, для которых существует соотношение неопределённостей, называются сопряжёнными, то есть координата и импульс частицы — сопряжённые величины. Ещё одна пара сопряжённых величин — это энергия и время. Соотношение неопределённостей для энергии и времени легко получить из (3.20) на примере фотона, у которого u = с и р = mc:

; . (3.21)

Так как mc2 = E — энергии фотона, то соотношение неопределённостей для энергии и времени примет вид

. (3.22)

Как следует из представленных выводов, соотношение неопределённостей можно получить, совмещая корпускулярные и волновые представления. Оно имеет практическое значение лишь в квантовой механике, где увеличение точности в определении, например координаты частицы по (3.20) приводит к возрастанию ошибки в определении импульса, и наоборот. В тех случаях, когда можно пренебречь неопределённостями по сравнению с абсолютными значениями сопряжённых величин, для описания поведения частицы можно пользоваться классическими законами.

Рассмотрим пример. Пусть в электронно-лучевой трубке летят электроны, ускоренные разностью потенциалов в 1000 В. Будет их движение описываться квантовыми законами, или классическими? Скорость частицы в этом случае может быть определена с точностью до десятых долей процента. Вычислив скорость u ≈ 1,7∙107 м/c, получим, что её погрешность Du = u?0,1% = u?10–3 @ 2?104 м/с. Тогда неопределённость в координате ≈ 3·10–6 м, т. е. координата в направлении скорости может быть определена с точностью около трёх микрон, почти на пределе возможностей доступных нам средств измерения. Электроны в условиях этой задачи можно считать классическими, поскольку для них можно очень точно задать скорость и достаточно точно — координату.

Соотношение неопределённостей служит критерием того, какие законы применимы к частице в определённых условиях — квантовые или классические. Естественно, чтобы судить, велика неопределённость или мала, следует указывать не абсолютное, а относительное её значение: Dх/х, либо Dр/р. Другие конкретные примеры использования этого важного соотношения отнесём, за недостатком места, на практические занятия.

<< | >>
Источник: Н.М. Соколова, В.И. Биглер. ФИЗИКА. Курс лекций. Часть 3. Челябинск. Издательство ЮурГУ. 2002

Еще по теме 3.4. Принцип неопределённости. Соотношение неопределённостей:

  1. Основные обозначения и соотношения, используемые в работе
  2. 2. Принципы административного процесса
  3. 3. Принципы административного права
  4. Конститутивные и регулятивные принципы персональных финансов[17]
  5. § 1. Генезис принципа зависимости в теории и международной практике
  6. 1. Понятие и принципы государственной службы
  7. 32. Приватизация жилых помещений: понятие, правовое регулирование, принципы, условия, оформление.
  8. Рагулин А.В.. Трактат об Обращении 32-х, принципах, дискриминации и демократии в российской адвокатуре: монография. (пре- дисл.: Г.Б. Мирзоев, послесл.: А.В. Воробьев) - Москва.: Российская академия адвокатуры и нотариата, Евразийский научно-исследовательский институт проблем права,2019. - 584 с., 2019
  9. Риски в системе персональных финансов61
  10. 1.2.1 Вариационные методы
  11. 3.1. Формирование стратегии развития системы персональных финансов
  12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  13. Приложение 5.