<<
>>

3.5. Понятие о волновой функции

Приведённые выше выводы и примеры показывают, что использование привычного для нас способа описания состояния частицы с помощью импульса и координаты оказывается в квантовой механике невозможным из-за принципа неопределённости.

Нужен другой способ описания, учитывающий волновые свойства частицы. Двойственная природа частиц позволяет заменить механический процесс движения частицы сопряжённым с ним процессом распространения волны. Оставим пока в стороне вопрос, о какой волне идёт речь и как конкретно её представить. Вспомним для начала, на примере известных нам волн, как и чем задаётся волновое движение.

Волновое движение — это периодическое (колебательное) движение, распространяющееся от точки к точке в непрерывном пространстве. Поэтому оно описывается периодической функцией времени t и координаты l. Если речь идёт о механической волне, то функцией этих величин является смещение из положения равновесия

. (3.23)

Если мы рассматриваем электромагнитную волну, то периодической функцией времени t и координаты l будут напряжённости электрического и магнитного полей:

; . (3.24)

Для описания периодического движения мы используем функцию синуса, но для этой цели может подойти и любая другая периодическая функция. Поскольку в приведённых уравнениях механической и электромагнитной волн изменяющиеся величины x, E, H аналогичны друг другу по характеру их зависимости от t и l, они имеют общее название — волновая функция.

Таким образом, для любого волнового процесса должна существовать волновая функция, физический смысл которой зависит от того, какова природа волны.

Если это электромагнитная волна, то волновая функция имеет смысл напряжённости и т.д.

Волновые функции имеют ещё одно характерное свойство: квадрат амплитудного (максимального) значения функции определяет плотность энергии, которую несёт с собой каждая волна. Нам хорошо известны приведённые ниже соотношения, где w = dW/dV — энергия единицы объёма, т.е. объёмная плотность энергии электрической, магнитной и, наконец, механической волны:

; ; . (3.25)

Эти соотношения сейчас интересны для нас тем, что волна, с распространением которой связан механический процесс движения частицы, несёт с собой энергию, которая не зависит от того, какими свойствами в данных условиях обладает объект — корпускулярными или волновыми. Если корпускулярными, то dW есть энергия той частицы, которая находится в объёме dV. Но из-за принципа неопределённости мы не можем точно знать, есть ли частица в объёме dV, так как неопределённость Dx по координате может быть больше линейного размера этого объёма (рис. 3.11). Однако мы можем утверждать, что имеется некоторая вероятность того, что частица находится в объёме dV. Если вероятность dZ обнаружить частицу в этом объёме стремится к нулю, то и плотность энергии тоже равна нулю. Иначе говоря, плотность энергии, связанной с движением частицы, пропорциональна вероятности нахождения частицы в единице объёма:

. ( 3.26)

Естественно знак равенства здесь ставить нельзя, поскольку w зависит еще и от той энергии, которую несёт с собой частица.

Рассматривая же волну, связанную с движением микрочастицы, мы можем утверждать, что эта же плотность энергии пропорциональна квадрату амплитудного значения той волновой функции, которая описывает эту волну.

Введём для этой волновой функции обозначение y. Физический смысл y, в отличие от известных нам волновых функций, нам пока не ясен, но мы можем утверждать, что плотность переносимой волной энергии пропорциональна квадрату её амплитуды: .

Получается, что одна и та же величина w пропорциональна с одной стороны вероятности dZ/dV, а с другой — квадрату амплитуды волновой функции. Естественно предположить, что эти величины связаны друг с другом и есть основание записать:

и . (3.27)

Здесь необходимо ввести разъяснение: вероятность dZ, определяемая по (3.27), будет максимально возможной, и не будет зависеть от переменных t и l, поскольку она пропорциональна амплитудному значению волновой функции. Такое положение не представляется верным, поскольку вероятность появления частицы в различных точках явно неодинакова. Поэтому будем считать, что вероятность пропорциональна квадрату не амплитуды, а квадрату текущего значения волновой функции y(l,t):

. (3.28)

В этом случае вероятность обнаружить частицу в элементе объёма будет меняться c изменением координаты и времени. Последнее равенство можно взять за основу трактовки физического смысла введённой выше волновой функции y:

Квадрат волновой функции определяет собой вероятность нахождения частицы в единице объёма.

Теперь мы можем утверждать, что с механическим движением частицы связано распространение волны вероятности. Или иначе: при движении частицы вероятность её появления в том или ином элементе объёма есть периодическая функция времени и координаты. Движение частицы не задаётся траекторией, расчет которой позволяет утверждать, что частица появится в указанной области пространства в данный момент времени.

В квантовой механике мы можем лишь указать, велика ли вероятность того, что это случится. Такая интерпретация волновых свойств частиц в настоящее время является основой квантовой механики. Её предложил немецкий учёный М. Борн в 1926 г. Математический аппарат квантовой механики хорошо разработан и очень обширен. Мы познакомимся лишь с самым его началом, в простейших его формах.

Естественно, волновую функцию y можно задать так же, как мы задавали известные нам функции х, E и Н:

, или (3.29)

если учесть, что w = 2p/T и l = uT.

Тот факт, что физический смысл имеет не сама y-функция, а только её квадрат, даёт возможность использовать для выражения зависимости y от координаты и времени не только синус и косинус, но и удобную для операций дифференцирования и интегрирования показательную функцию:

y(l,t) = , (3.30)

которая также является периодической, поскольку её показатель содержит мнимую единицу . В такой записи волновая функция не несёт никаких признаков квантово-механического подхода, поскольку описывает только волну.

Запишем теперь функцию y так, чтобы коэффициентами при её аргументах были не период и длина волны, а энергия W и импульс р, для чего умножим и поделим показатель степени на постоянную Планка h:

. (3.31)

Учтём теперь, что E = hn и l = h/p. Тогда, сменив знаки, получим

. (3.32)

Энергия и особенно импульс являются характеристиками не волны, а частицы. Введены они двумя основными соотношениями квантовой механики: энергией кванта и формулой де Бройля. Уравнение (3.32) поэтому может быть использовано лишь в квантовой механике.

<< | >>
Источник: Н.М. Соколова, В.И. Биглер. ФИЗИКА. Курс лекций. Часть 3. Челябинск. Издательство ЮурГУ. 2002

Еще по теме 3.5. Понятие о волновой функции:

  1. 2. Виды функций органов исполнительной власти: функции разработки государственной политики и правового регулирования, функции государственного контроля и надзора, функции по предоставлению публичных услуг
  2. 2.16 Сопоставление новых аппроксимирующих функций со степенной функцией вида (2.29)
  3. 1. Содержание (функции) государственного управления
  4. Функции и система персональных финансов[36]
  5. 2.15 Выбор аппроксимирующей функции для пластинок с жестко защемленным и шарнирно опертым контуром
  6. Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с шарнирно опертым контуром
  7. 2.16.1 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба пластинок с жестко защемленным контуром
  8. Раздел 5 «Функции, формы и методы государственного управления»
  9. ГЛАВА 2. ПРАВОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ БАНКОВ В НАЛОГОВЫХ ПРАВООТНОШЕНИЯХ
  10. 1. Понятие и принципы государственной службы
  11. 3. Понятие и виды методов государственно-управленческой деятельности