3.7. Частица в потенциальном ящике

Из механики известно, что на практике часты случаи, когда движение тела ограничено какими-либо конкретными условиями. В этом случае тело имеет возможность двигаться лишь в ограниченном пространстве, для выхода из которого ему необходимо получить энергию, величина которой определяется конкретными условиями: шарик на дне сосуда, электрон внутри металла, частица внутри атома, внутри ядра.

Для начала рассмотрим простейший случай. Пусть при движении частицы вдоль оси l её потенциальная энергия меняется так, что в интервале от l = 0 до l = a потенциальная энергия равна нулю, а в остальных точках (l < 0 и l > a) потенциальная энергия частицы бесконечно велика (рис.3.12). График описанной нами зависимости потенциальной энергии от координаты l представляет собой простейшую одномерную потенциальную яму с бесконечно высокими стенами и прямоугольным дном. Такая потенциальная яма получила название потенциального "ящика".

Чтобы частица имела координату l ? a, она должна получить бесконечно большую энергию U ® ¥ . То же самое и для координат l £ 0. Поэтому вероятность встретить частицу за пределами потенциального ящика стремится к нулю, а если так, то согласно уравнению

,

(3.39)

значение функции y в точках l = a и l = 0 должно стремиться к нулю. Здесь мы рассматриваем поведение частицы в одномерной потенциальной яме, поэтому и элемент объема dV в формуле (3.28) заменён элементом длины dl.

Для частицы в потенциальном ящике амплитудное уравнение Шрёдингера (3.37) упрощается, поскольку у частицы, находящейся внутри ящика, потенциальная энергия U равна нулю:

.

(3.40)

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, и решением его, как известно из курса математики, является гармоническая функция, то есть синус или косинус, а в общем случае — сумма этих функций*^[1].

Таким образом, уравнение Шрёдингера (3.40) по своей структуре является дифференциальным уравнением колебаний, но не во времени, а в пространстве. Для упрощения записи заменим коэффициент при y в (3.40):

Тогда уравнение Шрёдингера (3.40) примет вид

.

(3.42)

Решение этого уравнения ищем в виде

Постоянные коэффициенты А и В найдём из граничных условий, то есть из полученных нами выше значений функции y на границах ящика, при l = 0 и при l = a: y(0) = 0 и y(а) = 0. Подставив в общее решение (3.43) значение l = 0, будем иметь

откуда очевидно, что коэффициент В = 0. С учётом последнего волновая функция будет содержать только синус:

В соответствии со вторым граничным условием y в точке l = a должна обращаться в нуль:

Отсюда очевидно, что sin (ka) = 0, и аргумент под знаком синуса должен быть кратен p: ka = np, где п — целое число: п = 1, 2, 3,… Следовательно, в волновой функции, определяющей движение частицы в потенциальном ящике, k может принимать не любые, а только фиксированные значения

; (n = 1,2,3…).

(3.47)

Таким образом, решение уравнения Шредингера (3.40) для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме — это нумерованная волновая функция

; (n = 1,2,3…).

(3.48)

Здесь y_m = А — амплитуда волновой функции.

Энергию частицы легко найти из (3.41) и (3.47).

, или .

(3.49)

Очевидно, что здесь Е_п — кинетическая энергия частицы, находящейся в квантовом состоянии с номером п.

Энергия частицы оказывается кратной минимальной энергии E₁ = h²/8ma² , т.е. частица внутри потенциальной ямы может иметь энергию E₁, 4E₁, 9E₁ и так далее. Таким образом, энергия частицы, находящейся в потенциальной яме, квантована.

Разность энергий двух соседних уровней DЕ можно получить, если вычесть из энергии, характеризующей n+1 уровень, энергию n-го уровня:

,

(3.50)

то есть с увеличением п расстояние между соседними уровнями энергии частицы на энергетической диаграмме увеличивается (рис. 3.13). Так как минимальная энергия частицы в "ящике" обратно пропорциональна массе частицы и квадрату ширины потенциальной ямы, то при возрастании массы частицы или размера потенциальной ямы расстояние между уровнями уменьшается.

Квантование энергии, как мы уже знаем, было впервые получено Бором для частного случая — электрона внутри атома. Теперь мы получили этот же результат из более общих соображений — энергия частицы будет меняться порциями, если частица обладает волновыми свойствами и её движение ограничено. Это не обязательно будет электрон в атоме. Но для того, чтобы квантовый характер изменения энергии был заметен, необходимо чтобы DЕ было достаточно велико — то есть при при малых массах и малых размерах ямы.

Возрастание этих параметров вместе, либо по отдельности приведут к тому, что DЕ будет стремиться к нулю, т.е.

Теперь, используя (3.35) и (3.42) нетрудно рассчитать вероятность нахождения частицы в любой части потенциальной ямы и даже построить графики зависимости от координаты волновой функции y(l), и плотности вероятности |y|²(l). Ясно, что в первом случае это будут синусоиды различного периода в зависимости от n. Во втором случае отрицательных значений на графиках быть не может, соответствующие ветви синусоид будут отражены в положительную часть графика.

На рис. 3.14 представлены графики волновых функций и квадратов их модулей для двух случаев: n = 2 и n = 12. В последнем случае максимумы на кривой = f(l) расположены довольно плотно, а при п ® ∞они будут практически сливаться, поэтому вероятность встретить частицу в состоянии с п ® ∞будет одинаковой по всей ширине ямы, что имеет место в классической механике. При n = 2 это не так. Вероятность встретить частицу по краям ямы и в её центре одинакова и равна нулю, что никогда не наблюдается для классических частиц.