<<
>>

ВИЗНАЧЕННЯ ОБСЯГУ ВИРОБНИЦТВА: ЛІНІЯ ПОВНОЇ ЗАЙНЯТОСТІ

Крива IS показує різні можливі комбінації реальної процентної ставки та поточного обсягу виробництва, за яких ринок благ та послуг перебуває у рівновазі. Кожна точка кривої IS відображає рівновагу на товарному ринку, однак за допомогою лише цієї кривої ми не можемо визначити, яка кількість продукції перебуває на ринку.

Для цього нам потрібна інформація про обсяг виробництва, який фірми готові забезпечити. Поточний рівень виробництва, тобто кількість товарів та послуг, яку фірми вироблятимуть у будь-який момент часу, визначається через 1) існуючі виробничі потужності та 2) застосування змінних факторів виробництва, таких як праця. Виробничі потужності — це нагромаджені інвестиції попередніх років, тому можна припустити, що вони є сталими, а нові інвестиції залучаються як потужності для використання в майбутніх періодах. Для простоти також припускаємо, що і пропозиція змінних факторів виробництва є сталою (пізніше розглянемо обсяг виробництва у довгостроковому періоді, коли фірми можуть змінювати обсяг залучених факторів виробництва). Тоді обсяг виробництва за повної зайнятості в економіці є таким обсягом поточного виробництва, за якого залучаються всі наявні фактори виробництва, незалежно від реальної процентної ставки. Таким чином, він є сталим у точці Y* (рис. 24.3), через яку проведемо відповідну лінію повної зайнятості FE.

Перетин кривої IS з лінією FE є точкою рівноваги ринку товарів. Наприклад припустимо, що рівновага на товарному ринку досягається за обсягу поточного виробництва 10 000 млрд дол. США та реальної процентної ставки 4 % (рис. 24.3). За цих умов ринок товарів буде зрівноважений. Якщо поточний обсяг виробництва становить 10 000 млрд дол. США, реальна процентна ставка 4 % забезпечує рівновагу запланованих заощаджень та інвестицій, оскільки точка Y = 10 000 млрд, r = 4 % лежить на кривій IS.

Рисунок 24.3. Визначення обсягу виробництва на ринку товарів
Рівноважний обсяг виробництва на ринку товарів Y* досягається за умови повного використання всіх існуючих в економіці факторів.
Рівноважна реальна процентна ставка r* зрівнює заощадження та інвестиції за цього обсягу виробництва.

ДЕСЬ, КОЛИСЬ, В ЯКІЙСЬ КРАЇНІ…
Війна в затоці та «впевненість»

Визначники заощаджень та інвестицій фірм базуються на сподіваннях щодо майбутнього, тобто впевненості чи оптимізмі споживачів щодо завтрашнього дня. Захоплення Іраком Кувейту в серпні 1990 р. та початок воєнної кампанії урядом США на початку 1991 р. суттєво вплинули на впевненість у майбутньому споживачів та фірм. Споживачі були стурбовані можливим майбутнім подорожчанням палива та енергії. За досліджен­нями Мічиганського університету, впевненість споживачів у завтрашньому дні знизилася на 28 % у другій половині 1990 р., оптимізм почав відновлюватися аж по завершенні війни. Ділова активність теж упала, фірми по­чали скорочувати інвестиції в запаси

та трохи меншою мірою — у капітал. Водночас уряд США збільшив видатки на озброєння. Як ці зміни у видатках вплинули на сукупний попит?

Згідно з дослідженнями Федерального резервного банку Сан-Франциско, скорочення споживання та інвестицій унаслідок зростаючого песимізму домогосподарств та фірм зумовили зміщення кривої IS ліворуч і вниз. Негативні на- слідки цього зміщення були нівельовані більшим обсягом урядових закупівель, які змістили криву IS вгору і праворуч від IS0 до IS2. Аналітики вважають, що чистим результатом обох зміщень було зміщення вниз і ліворуч, оскільки армія використала в основному існуючі запаси озброєнь, а не закуповувала нові.

Джерело: «The Gulf War and the U.S. Economy,» Federal Reserve Bank of San Francisco Weekly Letter, September 13, 1991.

Поточне виробництво залежить від ефективності наявних факторів виробництва.

Підвищення поточної продуктивності праці або капіталу зміщуватиме пряму FE праворуч. Наприклад, якби всі вирішили інтенсивніше працювати в розрахунку на одиницю робочого часу цього року, поточна продуктивність праці зросла б, зміщуючи FE праворуч. З другого боку, несподіваний стрибок цін на нафту знижує продуктивність енергетичного устаткування, зміщуючи пряму FE ліворуч. Хоча зміни очікуваної майбутньої продуктивності впливають на інвестиції та криву IS, вони не впливають на поточне виробництво. Лише продуктивність факторів, що вже залучені у виробництво, може впливати на його обсяг. У табл. 24.2 наведено чинники, що зумовлюють зміщення прямої FE.

КОНТРОЛЬНЕ ЗАПИТАННЯ

Припустимо, ви керуєте інструментальним заводом на півночі Мічигану. Як вплине на можливість вашого заводу використовувати виробниче обладнання тривала хуртовина, що зупинила роботу на кілька тижнів? Як така погода вплине на пряму FE?

Якщо робітники не зможуть дістатися до місця роботи, поточне виробництво скоротиться, що перемістить пряму FE заводу ліворуч. Складні погодні умови, страйки та перебої у збуті діють як виробничі потрясіння, зміщуючи пряму FE національної економіки ліворуч.

КРИВА LM

Третім кроком побудови моделі взаємодії між фінансовою системою та національною економікою є виведення кривої LM, яка графічно виражає залежність між процент­ною ставкою та обсягом виробництва, коли фінансовий ринок перебуває у рівновазі.

Для простоти аналізу поділимо фінансовий ринок на ринок грошей та негрошових активів. Ринок грошей перебуває у рівновазі лише тоді, коли ринок негрошових активів теж перебуває у рівновазі. Спершу встановимо зв’язок між рівновагою на ринку грошей та на ринку негрошових активів. Відтак розглянемо, за яких умов на цих ринках встановлюється рівновага.

Таблиця 24.2. ВПЛИВ НА ЗМІЩЕННЯ ПРЯМОЇ FE

У зв’язку з... Лінія FE переміщується... Оскільки...
Підвищенням поточної продуктивності капіталу чи праці Підвищення продуктивності дає змогу збільшити обсяг виробництва за сталого обсягу залучених факторів
Падінням продуктивності поточного капіталу чи праці Падіння продуктивності зменшує обсяг виробництва за сталого обсягу залучених факторів

Рівновага на ринку активів

Грошові та негрошові активи (акції, облігації тощо) є альтернативними способами володіння майном.

Наприклад, Джейн Річ зважує, яку частину свого майна (w) залишити у формі грошей, а яку перетворити у негрошові активи. Її попит на готівку md разом із попитом на негрошові активи nd дорівнює величині майна w:

md + nd = w

Подібна проблема вибору портфеля постає перед кожним домогосподарством чи фір­мою. Ринки грошей та негрошових активів зрівноважені, коли загальний попит на фінансовий капітал дорівнює загальній його пропозиції. Тому для економіки в цілому весь попит на гроші Md та на негрошові активи Nd дорівнює національному багатству W:

Md + Nd = W (24.3)

З другого боку, національне багатство W також дорівнює сумі пропозиції грошей Ms та негрошових активів Ns:

Ms + Ns = W (24.4)

Якщо ринок перебуває в рівновазі, то попит дорівнює пропозиції, тоді можемо прирівняти 24.3 і 24.4, унаслідок чого отримаємо зв’язок між рівновагою на обох ринках:

(Md – Ms) + (Nd – Ns) = 0, отже (24.5)

Md – Ms = Nd – Ns

Коли попит на гроші переважає їх пропозицію (Md > Ms), ліва частина рівняння 24.5 є додатною, що означає надлишок попиту на гроші. Якщо ж Ns > Nd, то пропозиція негрошових активів переважає попит на них, що означає надлишкову пропозицію негрошових активів. Тому з рівняння 24.5 випливає: надлишковий попит на один із двох видів активів (гроші або негрошові активи) дорівнює надлишковій пропозиції іншого виду активів. За досягнення стану рівноваги ціни активів змінюються так, щоб на ринку не спостерігалося надлишкових попиту чи пропозиції; це означає, що обидві частини рівняння 24.5 дорівнюють нулю. Отже, грошовий ринок зрівноважений за умови, що й ринок негрошових активів також зрівноважений. Знаючи, що ринок грошей перебуває у рівновазі лише тоді, коли ринок негрошових активів перебуває у рівновазі, ми можемо зробити важливе спрощення: за будь-якої комбінації поточного обсягу виробництва та реальної процентної ставки, за якої ринок грошових активів зрівноважений, ринок негрошових активів також перебуває в стані рівноваги, і навпаки. Використаємо це спрощення і приділимо увагу визначникам рівноваги на грошовому ринку.

КОНТРОЛЬНЕ ЗАПИТАННЯ

Якщо Джейн Річ задоволена часткою свого майна у вигляді грошей, чи буде вона задоволена із частки свого майна у вигляді акцій та облігацій?

Так. Попит Джейн на реальні грошові запаси визначається сподіваною віддачею негрошових активів. Якщо Джейн вирішила певну частку свого майна тримати у вигляді грошей, то це означає, що вона порівняла вигоди володіння грішми з очікуваною віддачею від цінних паперів, ураховуючи ризик, ліквідність та витрати на інформацію.

Побудова кривої LM

Величину пропозиції реальних грошових запасів MS отримуємо, поділивши сукупну пропозицію грошей Ms на загальний рівень цін Р: MS = Ms / P. Попит на реальні грошові запаси MD обчислюємо так само: MD = Md / P. З другого боку, попит на гроші залежить від реального доходу (або виробництва) Y, процентної ставки на негрошові активи і та віддачі на гроші iM, та низки інших показників, тому ми можемо замінити (М/Р)d на функцію L(Y, I, іM). Рівновага досягається, коли попит та пропозиція реальних грошей рівні між собою:

,

де L — рівняння переваги надання ліквідності, що пов’язує попит на реальні грошові запаси з його визначниками.

Розглянемо ці визначники детальніше. Змінна і — номінальна ринкова процентна ставка на негрошові активи, її обчислюємо, додаючи реальну процентну ставку r (вважаємо, що вона дорівнює очікуваній реальній процентній ставці) до очікуваного темпу інфляції pe:

i = r + pe.

Підставивши цей вираз замість і у попереднє рівняння, отримаємо:

. (24.6)

Рівняння 24.6 містить забагато змінних для аналізу r і Y. Якщо припустити, що у рівнянні 24.6 номінальна пропозиція грошей М, рівень цін Р, очікуваний темп інфляції pe та номінальна віддача на гроші iM — сталі, для аналізу рівноваги на ринку грошей (а отже, і на ринку негрошових активів) нам буде достатньо використовувати лише комбінацію поточного обсягу виробництва Y та реальну процентну ставку r.

Припустимо, що домогосподарства та фірми задоволені з обсягу реальних грошових запасів М/Р, якими вони володіють, за обсягу виробництва 10 трлн дол. США, а реальна процентна ставка становить 4 %. Це означає, що ринок грошей перебуває у рівновазі (точка E0 на рис. 24.4 а)). Якщо ж виробництво зросте до 11 трлн дол. США, то з рівняння 24.6 випливає, що зросте й попит на реальні гроші: крива попиту на гроші переміститься з позиції MD0 у позицію MD1. За інших рівних умов, реальна процентна ставка повинна зрости з 4 % до 5 %, щоб зменшити попит на реальні грошові запаси. Досягається нова точка рівноваги Е1 на рис. 24.4 а).

На рис. 24.4 б) зображено можливі комбінації поточного рівня виробництва та реальної процентної ставки, за яких ринок грошей перебуває в рівновазі, — ми отримали низку точок, яка називається кривою LM. Ця крива є графіком функції 24.6, у кожній точці якого попит на реальні грошові запаси (функція переваги надання ліквідності L) дорівнює пропозиції грошей. Оскільки вища реальна процент­на ставка пов’язана з більшим обсягом виробництва для зрівноваження ринку грошей, крива LM має висхідний нахил угору і праворуч. Величина, на яку повин­на зрости реальна процентна ставка для відновлення рівноваги на ринку грошей, залежить від чутливості попиту на гроші до реальної процентної ставки. Тому нахил кривої LM залежить від чутливості попиту на реальні грошові запаси до номінальної процентної ставки і.

Якщо чутливість попиту на реальні грошові запаси до зміни ставки процента є низькою, процентна ставка має значною мірою реагувати на зміни обсягу виробництва для того, щоб зрівноважити ринок грошей. Оскільки значні зміни процентних ставок пов’язані з певною зміною обсягу виробництва, нахил кривої LM є крутіший. Якщо попит на реальні грошові запаси не чутливий до змін альтернативної вартості нагромадження грошей, крива LM перетворюється на вертикальну лінію. І навпаки, чутливий до процентної ставки попит на реальні грошові запаси, коли певна зміна попиту на гроші внаслідок збільшення виробництва вимагає для відновлення ринкової рівноваги набагато меншої зміни реальної процентної ставки, робить криву LM досить пологою. За абсолютної чутливості попиту на реальне нагромадження до змін процент­ної ставки крива перетвориться на горизонтальну лінію.

Отже, нахил кривої LM залежить від чутливості попиту на гроші до процентної ставки. Якщо попит на гроші чутливий до процентної ставки, крива LM є відносно пологою; якщо попит на гроші не є чутливим до процентної ставки, крива LM є відносно крутою.

Рисунок 24.4. Крива LM
Як зображено у частині а):

1. Зі зростанням поточного виробництва збільшується попит на реальні грошові запаси.

2. Якщо пропозиція реальних грошових запасів стала, то зростання поточного виробництва підвищує реальну процентну ставку.

Як зображено у частині б):

Крива LM має додатний нахил. Для забезпечення рівноваги на ринку грошей більшому обсягові виробництва повинна відповідати вища процентна ставка.

Кожна точка кривої LM означає рівновагу на ринку грошей. Точки, що не належать їй, не забезпечують зрівноваження ринку фінансових активів, як і у випадку з кривою IS. Для того щоб зрозуміти, чому, звернімось до рис. 24.5 а). Припустимо, що поточне виробництво становить 10 трлн дол. США, а процентна ставка встановилася на рівні 5 % (точка 1 на рис. 24.5 а)). За таких умов на ринку спостерігається надлишок пропозиції грошей. Домогосподарства та фірми, користуючись нагодою, використовують певну частку цих грошей для купівлі негрошових активів, що підвищує ціни і збиває процентну ставку до рівня 4 % (точка 3). Навпаки, якщо виробництво становить 10 трлн дол. США, а процентна ставка — 3 %, спостерігається надлишковий попит на гроші (точка 2). Домогосподарства та фірми продають негрошові активи, що знижує їхню ціну і підвищує реальну процентну ставку до рівня 4 % у точці 3.

Рис. 24.5 б) ілюструє цю ситуацію з використанням кривої LM. Точка 1 та інші, що лежать вище кривої LM, означають надлишок пропозиції грошей та надлишок попиту на негрошові активи. Точка 2 та інші, що знаходяться під кривою LM, відбивають надлишок попиту на гроші та надлишок пропозиції негрошових активів. І лише точка 3 забезпечує рівновагу на ринку капіталу.

Рисунок 24.5. Точки поза кривою LM
Як зображено у частині а):

Коли пропозиція реальних грошових запасів перевищує попит на них (як у точці 1), спостерігається надлишкова пропозиція грошей. Коли попит на реальні грошові запаси переважає їхню пропозицію (як у точці 2), спостерігається надлишковий попит на гроші. Ринок грошей перебуває у рівновазі у точці 3, попит та пропозиція реальних грошових запасів рівні.

Як зображено у частині б):

За надлишку пропозиції грошей (точка 1) реальна процентна ставка перевищує свій рівноважний рівень. Якщо існує надлишковий попит на гроші (як у точці 2), реальна процентна ставка є нижчою за свій рівноважний рівень. Лише точки на кривій LM відображають рівноважні комбінації реальної процентної ставки та виробництва, які узгоджуються з рівновагою на ринку активів.

КОНТРОЛЬНЕ ЗАПИТАННЯ

Припустимо, ФРС спонукає вас зберігати не більше 1000 дол. США свого майна у вигляді готівки та безпроцентних чекових вкладів. Як їй вас переконати, якщо ваш поточний дохід та обсяг трансакцій зростають, і 1000 дол. США у формі касових залишків для вас недостатньо?

Якщо ФРС зможе підвищити реальну норму віддачі інших негрошових фінансових активів, ви зможете захотіти збільшити частку фінансових активів. На скільки повинна зрости процентна ставка, залежить від чутливості ваших рішень щодо портфеля до змін ставки процента. У будь-якому разі, уздовж кривої LM збільшення поточ­ного доходу Y передбачає підвищення рівня процентної ставки r.

Зміщення кривої LM

Розглядаючи криву IS, ми з’ясували, що зміни чинників, відмінних від обсягу поточного виробництва та реальної процентної ставки, можуть зміщувати цю криву. Крива LM теж може зміщуватися під впливом змінних з рівняння 24.6, а саме: номінальної пропозиції грошей М, рівня цін Р, номінальної віддачі на гроші іM та очікуваного рівня інфляції pе.

Зміна пропозиції реальних грошових запасів. Рівень реальних грошових запасів, який обчислюємо, поділивши номінальну пропозицію грошей на рівень цін, є величиною даною при побудові кривої LM. Як вплине збільшення цього рівня на рівновагу на ринку грошей унаслідок, скажімо, впровадження ФРС експансійної монетарної політики? У такому разі для відновлення рівноваги на ринку слід збільшити попит на гроші одним із наступних способів. За сталого обсягу виробництва зниження реальної процентної ставки робить привабливішим можливість нагромаджувати гроші та збільшує попит на них. Тобто за сталої сподіваної інфляції номінальна процентна ставка падає і зменшує альтернативну вартість володіння грішми замість негрошових активів. З другого боку, за сталого рівня процентної ставки зростання рівноважного обсягу виробництва збільшує попит на реальні грошові запаси. В обох випадках крива LM зміщуватиметься вниз і пра- воруч.

Коли зменшується пропозиція реального грошового нагромадження, наприклад унаслідок проведення стримуючої монетарної політики, відповідне зменшення попиту приводить до рівноваги. За сталого поточного обсягу виробництва підвищення реальної процентної ставки відновлює рівновагу на грошовому ринку шляхом зменшення попиту на реальні грошові запаси. За сталого рівня реальної процентної ставки рівновагу можна відновити, скоротивши обсяг виробництва. Зменшення номінальної пропозиції грошей М за сталого рівня цін зміщуватиме криву LM угору і ліворуч.

Ці приклади ілюструють зміщення кривої LM унаслідок зміни пропозиції номінальних грошей (за сталого рівня цін). Так само можна розглядати вплив на положення кривої LM змін рівня цін за сталої номінальної пропозиції грошей. Наприклад, зниження рівня цін унаслідок зниження цін енергоносіїв збільшує реальні грошові запаси та зміщує криву LM униз і праворуч. Зростання рівня цін через подорожчання енергоносіїв зменшує реальні грошові запаси, і крива LM зміщується вгору і ліворуч.

Зміни номінальної віддачі на гроші. Зміни номінальної віддачі, яку домогосподарства та фірми можуть отримати від нагромадження грошей, змінює попит на гроші та зміщує криву LM. Пригадайте, що фірми та домогосподарства порівнюють віддачу на гроші та негрошові активи, вирішуючи, яку частку майна зберігати як гроші. Хоча й не всі компоненти грошей (готівка, наприклад) приносять процент, деякі з них (такі, як процентні чекові депозити) можуть давати їхнім власникам прибуток. Проаналізуймо вплив збільшення номінальної віддачі на гроші на положення кривої LM, наприклад, після дерегулювання сплати процентів на чекові депозити. За інших рівних умов попиту на гроші, збільшення номінальної віддачі на гроші іМ робить реальні гроші привабливішим видом активу для інвесторів порівняно з негрошовими активами, що виявляється у збільшенні попиту на них. Тому лише вища реальна процентна ставка може повернути ринок до стану рівноваги. Зі зростанням реальної процентної ставки за негрошовими активами збільшується номінальна процентна ставка на них порівняно з номінальною віддачею на гроші, що зменшуватиме попит на гроші і робитиме їх привабливішими для інвесторів порівняно з грошима. Рівновага на ринку активів відновлюється завдяки зростанню реальної процентної ставки за будь-якого обсягу виробництва. І навпаки, зменшення рівня номінальної віддачі на реальні гроші робитиме негрошові активи бажанішими для інвесторів, ніж гроші, що виявлятиметься у зниженні попиту на реальні грошові запаси. Для відновлення рівноваги на ринку грошей номінальна процентна ставка повинна знизитися. Рівновага ринку активів відновлюється внаслідок зростання попиту на гроші.

Отже, за інших рівних умов, зростання номінального рівня віддачі на гроші зміщує криву LM угору і ліворуч, тим часом як зменшення номінальної віддачі на гроші змістить криву LM униз і праворуч.

Зміни очікуваної інфляції. Як відомо, номінальна процентна ставка дорівнює сумі очікуваної реальної процентної ставки r та сподіваного рівня інфляції pе. Зміни очікуваного рівня інфляції впливають на рівновагу ринку грошей через зміни номінальної процентної ставки, пов’язаної з будь-якою реальною.

Таблиця 24.3. ЧИННИКИ ЗМІЩЕННЯ КРИВОЇ LM

Збільшення... Переміщує криву LM... Оскільки...
Пропозиції номінальних грошових залишків, MS Падає реальна процентна ставка, що стимулює попит на гроші за будь-якого обсягу виробництва
Сукупного рівня цін, Р Зростає реальна процентна ставка, що стримує попит на гроші за будь-якого обсягу виробництва
Номінальної віддачі на гроші, іМ Зростає реальна процентна ставка, що стримує попит на гроші за будь-якого обсягу виробництва
Сподіваного рівня інфля- ції, pе Падає реальна процентна ставка, що стимулює попит на гроші за будь-якого обсягу виробництва

Припустимо, що сподіваний рівень інфляції зростає, оскільки домогосподарства та фірми вважають, що ФРС проводить політику, яка провокує інфляцію. Для того, щоб реальна процентна ставка не змінилася, повинна зрости номінальна. Якщо номінальна віддача на гроші не змінюється, то негрошові активи стають привабливішими для заощадників, і попит на реальні грошові запаси зменшується. Для відновлення ринкової рівноваги реальна процентна ставка повинна знизитися за будь-якого обсягу виробництва, щоб рівновага на ринку активів не порушувалася.

Отже, вищий сподіваний рівень інфляції зміщує криву LM униз на величину приросту цього рівня інфляції. З другого боку, якщо очікувана інфляція зменшується, то крива LM зміщується вгору на величину зменшення очікуваного рівня інфляції. У табл. 24.3 підсумовуються чинники, що впливають на зміщення кривої LM.

КОНТРОЛЬНЕ ЗАПИТАННЯ

Припустимо, що широке використання банківських кредитних та дебетних карток спричинило падіння попиту на гроші за всіх рівнів доходу та процентної ставки. Як поводитиме себе крива LM, якщо пропозиція грошей залишатиметься без змін?

Оскільки попит на гроші впав, реальна процентна ставка повин­на знизитися за всіх рівнів доходу, щоб заохотити населення зберігати рівень пропозиції грошей. Крива LM зміститься вниз і праворуч.

<< | >>
Источник: Габбард, Р. Глен.. Гроші, фінансова система та економіка: Підручник / Пер. з англ.; Наук. ред. пер. М. Савлук, Д. Олесневич. — К.: КНЕУ,2004. — 889 с.. 2004

Еще по теме ВИЗНАЧЕННЯ ОБСЯГУ ВИРОБНИЦТВА: ЛІНІЯ ПОВНОЇ ЗАЙНЯТОСТІ:

  1. 2. Права и обязанности сторон по договору купли-продажи.
  2. ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ И СТРУКТУРЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЛИЧНОСТИ СУБЪЕКТА ТРУДА (МЕНЕДЖЕРА КОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ)
  3. 34. Наем жилого помещения на коммерческой основе: юридическая характеристика, элементы, срок, отличие от договора социального найма.
  4. Приложение 17.
  5. Антонов Ярослав Валерьевич. Электронное голосование в системе электронной демократии: конституционно-правовое исследование. Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук. Москва - 2015, 2015
  6. Рентгенофазовый анализ
  7. З.ИСЛАМОВ. ОБЩЕСТВО. ГОСУДАРСТВО. ПРАВО. (Вопросы теории) Ташкент, «Адолат» - 2001, 2001
  8. Фигуры, промежуточные между кругом и правильными многоугольниками
  9. Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников
  10. ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ПЛИТ