<<
>>

ДОХІД ВІД ОБЛІГАЦІЙ ТА ЇХНЯ ЦІНА

Рівняння для поточної вартості показує, якою є сьогодні вартість майбутніх грошових надходжень унаслідок інвестиції. Розважливий позикодавець не платитиме за облігацію більше її поточної вартості, і саме ця сума становитиме ціну його інвестиції.

Як наслідок, ціна боргового інструменту дорівнює його поточній вартості.

Досі ми аналізували лише такі ситуації, коли позичальник, який випустив облігації, отримує прибуток від їх продажу. Багато інвесторів зберігають придбані облігації до досягнення строку погашення й отримують процентні платежі та основну суму боргу безпосередньо від позичальника. Проте частина інвесторів можуть продавати облігації ще до досягнення строку погашення, і на ціну облігацій при цьому впливають, окрім майбутніх потоків платежів, ще й інші чинники. Зокрема, ринкові процентні ставки змінюються з перебігом часу, і ці зміни впливають на вартість облігацій, якими володіють інвестори.

Припустимо, ви володієте облігацією компанії Bigco зі строком погашення 20 років та купонною ставкою 9 %, а ринкові процентні ставки протягом декількох років зростають до 12 %. Як вплине це на ціну облігації? Припустимо, що ви очікуєте зниження процентних ставок упродовж декількох наступних років. Що вигідно придбати в такій ситуації: облігації зі строком погашення 30 років чи тримісячні векселі Державної скарбниці? У цьому параграфі з’ясовується зв’язок доходу на момент погашення та ціни інструменту ринку кредитів. Також буде показано, що поточні та очікувані в майбутньому зміни доходу на момент погашення зумовлюють зміни цін фінансових інструментів, впливаючи, наприклад, на вартість заощаджень чи вартість заставної. Зв’язок між ціною та доходом на момент погашення досліджуватиметься для купонних облігацій, проте висновки стосуються всіх фінансових інструментів.

Розпочнемо з аналізу питання, чому ціна облігації може змінюватися з перебігом часу.

Відповівши на нього, ми зможемо точніше з’ясувати зв’язок між доходом на момент погашення та ціною.

Чому ціна та номінальна вартість відрізняються?

Іван Романів придбав облігацію зі строком погашення 20 років і доходом на момент погашення 5 % за номінальною вартістю 1000 дол., проте через п’ять років змушений продати її для покриття непередбачених видатків. Протягом цих п’яти років ринкові процентні ставки зросли до 10 %. Як впливає ця зміна на ціну продажу облігації? Ніхто не заплатить за неї 1000 дол., бо це означало б дохід, рівний 5 %. Інвестори мають змогу купити нові облігації, які пропонують дохід, рівний 10 %. Щоб бути конкурентоспроможним за умов вищих ринкових процентних ставок, Іван повинен погодитись на зниження ціни облігації. Лише у випадку зниження ціни за майбутні надходження від цієї облігації норма віддачі інвестора буде вищою за 5 %. Справді, Іван змушений знижувати ціну облігації доти, поки віддача на неї не зросте до 10 %, що зробить цю облігацію конкурентоспроможною на ринку. Отже, якщо ринкові процентні ставки змінюються, ринкова ціна облігації може відрізнятися від її номінальної вартості.

Як можна використати дохід на момент погашення для визначення і початкової процентної ставки, і зміни ціни облігації, спричиненої змінами ринкових процентних ставок? Передовсім виразимо дохід на момент погашення для купонної облігації або позики з незмінними виплатами у вигляді суми двох компонентів. Перший доданок — це поточний дохід, який дорівнює відношенню купонного платежу С до поточної ціни облігації Р:

. (4.5)

Розгляньмо купонну облігацію номінальною вартістю 1000 дол. зі щорічним купонним платежем 100 дол., яку продають за 750 дол. Хоча купонна ставка дорівнює 100 дол. / 1000 дол., тобто 10 %, поточний дохід становить

, тобто 13,3 %.

Чи слід порівнювати цей поточний дохід, рівний 13 %, з поточним доходом на інші облігації за прийняття рішення щодо інвестування ваших заощаджень? Трохи забігаючи наперед, скажемо: правильна відповідь — ні.

Згадаймо, що процентною ставкою, яку використовують для порівняння віддачі на різні фінансові інструменти, є дохід на момент погашення. Поточний дохід є першим компонентом доходу на момент погашення, а другий компонент вимірює майбутні грошові надходження внаслідок володіння облігацією до досягнення строку погашення. Наприклад, якщо ви володітимете згаданою облігацією до досягнення строку погашення, то отримаєте 1000 дол., що означатиме приріст капіталу на суму 250 дол., оскільки облігацію було придбано за 750 дол. (Проте якщо ціна облігації перевищувала 1000 дол., ви все одно отримаєте лише 1000 дол. на момент погашення, що означатиме втрату капіталу).

На основі попереднього аналізу можна дійти таких трьох висновків щодо співвідношення між доходом на момент погашення, поточним доходом та купонною ставкою на облігацію:

1. Якщо поточна ціна облігації Р дорівнює її номінальній вартості F, володіння облігацією до моменту погашення не спричиняє приросту або втрати капіталу. Відтак дохід на момент погашення і дорівнює поточному дохіду С/Р, який дорівнює купонній ставці С/F.

2. Якщо поточна ціна облігації нижча від її номінальної вартості, Р < F, інвестор забезпечує собі приріст капіталу, володіючи облігацією до моменту погашення. Отже, дохід на момент погашення і більший за поточний дохід С/Р, який, своєю чергою, більший від купонної ставки С/F.

3. Якщо поточна ціна облігації вища від її номінальної вартості, P > F, інвестор зазнає збитків, володіючи облігацією до моменту погашення. Дохід на момент погашення і менший, ніж поточний дохід С/Р, який, своєю чергою, менший від купонної ставки C/F.

Вказані співвідношення справедливі для будь-якої купонної облігації і безпосередньо випливають із нашого визначення доходу на момент погашення. Якщо облігацію номінальною вартістю 1000 дол. зі строком погашення 10 років і купонною ставкою 10 % продають за 1000 дол., володіючи цією облігацією протягом 10 років, ви отримаєте процентну ставку 10 %. Дохід на момент погашення дорівнює поточному доходові й дорівнює купонній ставці.

Якщо цю саму облігацію продають за 900 дол., на момент погашення ви одержите прибуток, оскільки тоді дохід (який дорівнює 11,75 %) більший, ніж поточний дохід (100 дол./900 дол. = 11,1 %) і більший, ніж купонна ставка (100 дол./1000 дол. = 10 %). І, нарешті, якщо цю облігацію продають за 1100 дол., на момент погашення ви зазнаєте збитків. Дохід на момент погашення (обчислений за допомогою програмного калькулятора, 8,48 %) менший, ніж поточний дохід (100 дол./1100 дол. = 9,09 %) і менший, ніж купонна ставка (100 дол./1000 дол. = 10 %).

Три подані співвідношення демонструють зв’язок між доходом на момент погашення і поточним доходом або купонною ставкою, залежно від того, чи ціна облігації більша від її номінальної вартості, менша чи дорівнює їй. Використаємо ці міркування для аналізу зв’язку між доходом на облігації та їхньою ціною.

Зв’язок дохідності облігацій та їхніх цін?

Ціна облігації та її дохід на момент погашення перебувають в оберненій залежності. Тому зі зниженням ціни дохід на момент погашення зростає, оскільки покупець платить менше за той самий потік майбутніх доходів. І, навпаки, зі зростанням ціни дохід на момент погашення зменшується. Обернена залежність між доходом

ІНФОРМАЦІЯ ДЛЯ РОЗДУМІВ…
Хто купуватиме ці «міфічні» п’ятдесятирічні облігації?

У квітні 1992 р. квазіурядова установа Tennessee Valley Authority (TVA) випустила нові облігації зі строком погашення 50 років на суму 1 млрд дол. США. Дохід на ці облігації оцінювався у 8,5 %, тобто процентна ставка десь на 0,5 % перевищувала дохід на облігації Державної скарбниці США зі строком погашення 30 років. Інституційні інвестори — пенсійні фонди і страхові компанії, які вишукують можливості довгострокових інвестицій для фінансування своїх довгострокових зобов’язань, вважали облігації TVA настільки привабливими, що попит на них перевищував пропозицію. Така ситуація відома як перевищення передплати. Чому інвестори купують такі «міфічні» облігації?

Виходячи з нашого аналізу, ціна активів із тривалим строком погашення чутливіша до змін процентної ставки, ніж ціна короткострокових активів.

Інвестування у купонні облігації зі строком погашення 50 років не для легкодухих, бо небезпека втрати капіталу значна. Наприклад, збільшення доходу на момент погашення на 2 % зменшить ціну облігації приблизно на 19 %, тоді як зменшення доходу на момент погашення на 2 % збільшить ціну облігації приблизно на 26 %. У випадку з облігаціями TVA (які не приносять процента впродовж 20 років, а потім приносять — протягом 30 років) облігації номінальною вартістю 1000 дол. продавалися за 160 дол., і початковий дохід на момент погашення становив 8,5 %. Тобто збільшення доходу на момент погашення на 2 % зменшить ціну облігації приблизно на 47 %, тоді як зменшення доходу на момент погашення на 2 % збільшить ціну облігації на 78 %. Звичайно, потен­ційні вигоди внаслідок зниження доходу на момент погашення також вагомі; мабуть цим і пояснюється такий високий попит на облігації.

на момент погашення і поточною ціною фінансового інструменту є важливою, і пояснити її можна так: дисконтування майбутніх платежів за вищою ставкою неминуче зменшує їхню поточну вартість, а отже, і ціну облігації. Зниження доходу на момент погашення збільшує поточну вартість майбутніх платежів, а отже, і ціну облігації.

До того ж, що триваліший період часу до моменту погашення облігації, то більшими є потенційні зміни ціни внаслідок однакової зміни доходу на момент погашення. З’ясуймо, чому це так. Припустимо, початковий дохід на момент погашення і поточний дохід на облігацію номінальною вартістю 10 000 дол. дорівнюють 10 %. Як очікують, унаслідок багатого вибору інвестиційних можливостей і високого попиту на позичкові кошти, дохід на момент погашення на цю облігацію зросте через рік до 15 %. Як зміниться ціна облігації? У відповідь на зростання доходу ціна облігації може різко знизитися. Як видно з рисунка 4.2, якщо термін погашення облігації спливає через один рік, ціна облігації не зміниться, оскільки її поточна ціна дорівнює номінальній вар­тості. Для облігації, момент погашення якої настає через п’ять років, за допомогою рівняння (4.3) можна з’ясувати, що її ціна зменшиться на 1298 дол., а вартість майбутніх платежів процента знизиться. Ще вагомішою є втрата капіталу, якщо до моменту погашення облігації залишається 20 років, оскільки частина платежів припадає на доволі віддалене майбутнє. За допомогою рівняння (4.3) можна визначити, що ціна облігації у цьому випадку зменшиться на 2817 дол.

Рисунок 4.2. Чутливість ціни облігацій до змін процентних ставок
Ціна облігації і дохід на момент погашення перебувають в оберненій залеж­ності. Припустимо, що, як очікують, дохід на момент погашення зросте через рік з 10 % до 15 %. Як зміниться ціна облігації? Зміна доходу на момент погашення вагоміше впливає на ціни довгострокових облігацій, ніж на ціни облігацій, момент погашення яких настане незабаром.

Отже, коли дохід на момент погашення змінюється, перед інвесторами постає ризик зміни ціни облігації. Наприклад, хоча цінні папери Державної скарбниці США не містять жодного ризику невиконання зобов’язань щодо основної суми позики чи процента, вони все ж ризикові у тому розумінні, що зміна доходу на момент погашення може вплинути на вартість цих інструментів.

Відтак інструменти кредитного ринку демонструють різну чутливість ціни до змін доходу на момент погашення — залежно від часу, що лишився до моменту погашення. Отримані раніше вирази для поточної вартості показують, що поточна вар­тість короткострокових інструментів незначною мірою залежить від зростання чи зниження процентної ставки. Зі зростанням строку погашення фінансових інструментів їхні ціни стають чутливішими до змін доходу на момент погашення.

З попереднього аналізу може скластися враження, що інвестори мають змогу зменшити ризик, пов’язаний із коливанням ринкових процентних ставок, купуючи тільки короткострокові інструменти. Якщо це справді так, чому взагалі знаходяться покупці довгострокових облігацій? Для прикладу розглянемо вибір, перед яким постає Сузанна Мидлайф. Сузанна планує вийти на пенсію через 30 років. З одного боку, якщо вона придбає дисконтну облігацію зі строком погашення 30 років і доходом на момент погашення 5 %, то знатиме свій дохід аж до виходу на пенсію. З іншого боку, в разі послідовної купівлі однорічних дисконтних облігацій дохід Сузанни визначатиметься сумою річних доходів протягом наступних тридцяти років. Середній дохід при цьому може виявитися більшим або меншим від 5 %. Використовуючи стратегію послідовного придбання однорічних дисконтних облігацій, Сузанна бере на себе ризик реінвестицій, тобто ризик, який супроводжує періодичне реінвестування за невідомих майбутніх процентних ставок. Який із варіантів обрати Сузанні? Фахівці радять заощадникам брати до уваги тривалість періоду часу, коли їм, імовірно, знадобляться гроші, і своє ставлення до ризику*.

bgcolor=white> bgcolor=white>
З ФІНАНСОВИХ НОВИН…
Стежачи за курсом та дохідністю облігації

Щодня The Wall Street Journal у рубриці Money and Investing подає інформацію про ціни облігацій і доходи на них.

Розглянемо декілька прикладів отримання інформації, потрібної для порівняння доходів на різні види облігацій. Ці приклади стосуються сертифікатів (білетів), векселів і облігацій Державної скарбниці США, а також облігацій корпорацій на Нью-йоркській фондовій біржі.
ОБЛІГАЦІЇ, СЕРТИФІКАТИ ТА ВЕКСЕЛІ ДЕРЖАВНОЇ СКАРБНИЦІ США

Wendnesday, November 22, 2000

Representative and Indicative Over-the-Counter quotations based on $1 million or more.

Treasury bond, note and bill quotes are as of mid-afternoon. Source: Telerate/Cantor Fitzgerald.

Panel 1: Treasury Bonds and Notes GOVT. BONDS & NOTESS
Maturity Ask
Rate Mo/Yr Bid Asked Chg. Yld.
55/8 Dec 02n 99:20 99:22 + 3 5.78
51/2 Jan 03n 99:11 99:13 + 4 5.79
61/4 Feb 03n 100:27 100:29 + 3 5.80
103/4 Feb 03 109:31 110:01 + 2 5.87
Bond A 51/2 Feb 03n 99:11 99:13 + 4 5.78
51/2 Mar 03n 99:11 99:13 + 4 5.77
53/4 Apr 03n 99:28 99:30 + 4 5.78
12 May 05 124:12 124:18 + 8 5.70
61/2 Aug 05n 103:11 103:13 + 8 5.67
Bond B 103/4 Aug 05 120:13 120:19 + 9 5.71
53/4 Nov 05n 100:23 100:24 + 9 5.57
57/8 Nov 05n 100:29 100:31 + 9 5.65
55/8 Feb 06n 99:25 99:27 + 10 5.66
93/8 Feb 06 116:10 116:14 + 9 5.69
61/4 Feb 07n 102:31 103:01 + 12 5.66
75/8 Feb 02-07 101:23 101:25 + 2 6.08
65/8 May 07n 105:02 105:04 + 11 5.67
61/8 Aug 07n 102:15 102:17 + 12 5.67
Bond C 77/8 Nov 02-07 103:15 103:17 + 4 5.95
35/8 Jan 08i 98:17 98:18 + 1 3.86
51/2 Feb 08n 99:00 99:02 + 13 5.66
51/8 May 08n 99:22 99:24 + 12 5.67
Panel 2: Treasury Bills TREASURY BILLS
Days to Ask
Maturity Mat. Bid Asked Chg. Yld.
Nov 30`30 6 6.04 5.96 +0.01 6.05
Dec 07`00 13 6.11 6.03 +0.01 6.13
Dec 14`00 20 5.82 5.74 +0.01 5.84
Dec 21`00 27 6.44 6.36 +0.01 6.48
Dec 28`00 34 6.20 6.16 +0.01 6.28
Jan 04`00 41 6.13 6.09 +0.01 6.22
Jan 11`00 48 6.17 6.13 +0.01 6.27
Panel 3: New York CORPORATION BONDS
Stock Volume, $6,862,000
Exchange Bonds Cur. Yld Vol. Close Net Chg.
Bonds AES Cp 8s8 8.7 33 917/8 + 13/8
AMR 9s16 9.0 10 1001/2 1/4
ATT 51/801 5.2 25 991/16 ¼
ATT 71/802 7.1 95 1001/4 + 3/8
ATT 61/202 6.6 50 983/8 + 1/4
ATT 63/404 6.9 60 971/2 + 1/8
ATT 55/804 6.0 35 945/8 1/4
Bond D ATT 71/206 7.5 65 993/4 + 3/8
ATT 73/407 7.7 2 1001/2 ¼
ATT 6s09 6.9 160 875/8 ¼
ATT 81/822 8.4 219 97 + 1/2
ATT 81/824 8.4 327 961/2 + 3/8
ATT 8.35s25 8.6 80 967/8 + 1/4
ATT 61/229 8.0 81 811/8 + 15/8
ATT 85/831 8.8 291 983/8 + 3/8
Alza zr14 ¼ 147 99 – 18
ArmWld 93/408 39.0 40 25 – 3
BauschL 71/828 13.7 5 52 ¼
Джерело: The Wall Street Journal, 24 листопада, 2000 р. Передруковано за дозволом Dow Jones, Inc.

Приклад 1. Приклад 1 містить дані про облігації та сертифікати (білети) скарбниці США. Ці зобов’язання є купонними облігаціями з різними строками погашення. Сертифікати Державної скарб­ниці мають строк погашення менший, ніж десять років від дати випуску; строк погашення облігацій Державної скарбниці перевищує десять років.

У перших двох стовпцях міститься інформація про купонну ставку і строк погашення. Наприклад, для облігації А купонна ставка дорівнює 5,5 %, тобто за облігацією номінальною вартістю 1000 дол. США щороку виплачують 55 дол.; строк погашення цієї облігації — лютий 2003 р. Деякі облігації, наприклад облігація С, мають два можливих строки погашення. У цьому випадку Державна скарбниця США може виплатити номінальну вартість облігації у будь-який час між листопадом 2002 р. та листопадом 2007 р. Цей вид облігацій, що підлягає викупу, забезпечує скарбниці більшу гнучкість у фінансуванні. Проте вони містять ризик для інвесторів, бо в разі падіння ринкових процентних ставок нижче від купонної ставки скарбниця має право раніше викупити ці облігації.

Наступні три стовпці стосуються ціни облігацій. Усі ціни подано на 100 дол. номінальної вартості; цифри після двокрапки означають тридцять другі частини долара. Для облігації А перша ціна становить 99:11, що означає «99 і 11/32», або фактичну ціну 993,44 дол. на 1000 дол. номінальної вартості облігації. Ціна покупця (стовпець «Bid») — це ціна, яку ви отримаєте у дилера державних цінних паперів, якщо продасте облігацію. Ціна продавця (стовпець «Asked») — це ціна, яку ви повинні заплатити дилерові при купівлі облігації. Різниця між ціною продавця та ціною покупця визначає межі прибутку (спред) дилерів. На ринках державних цінних паперів різниця між ціною продавців і ціною покупців є незначною, що вказує на малі трансакційні видатки та ліквідний і конкурентний ринок. Стовпець «Chg» показує, наскільки збільшилась або зменшилась ціна покупця порівняно з попереднім днем торгівлі. Для облігації А ціна покупця порівняно з попереднім днем зросла на 4/32.

Останній стовпець містить інформацію про дохід на момент погашення, обчислений за проаналізованим нами вище методом для купонної облігації з використанням ціни продавця. The Wall Street Journal використовує ціну продавця, оскільки читачів цікавить дохід з погляду покупців — інвесторів. Відтак з поданої в таблиці інформації можна отримати три процентні ставки: щойно згаданий дохід на момент погашення, купонну ставку і поточний дохід (який дорівнює відношенню купонної ставки до ціни, 5,50 / 99,41, або 5,52 % для облігації А). Зауважте, що для облігації В поточний дохід значно перевищує дохід на момент погашення. Поточний дохід, 10,75 / 120,59, або 8,9 % значно вищий, ніж дохід на момент погашення 5,71 %. Це відображає той факт, що поточний дохід не є повноцінним замінником доходу на момент погашення для інструментів з коротким строком погашення, оскільки він не враховує вплив сподіваних приросту або втрати капіталу на дохід на момент погашення.

The Wall Street Journal подає також дані про ціни й доходи, проіндексовані на інфляцію цінних

паперів Державної скарбниці США; цінних паперів установ уряду США (таких, як GNMA — Державна національна асоціація заставних США, яка позичає кошти для придбання заставних), штатів і муніципалітетів; цінних паперів міжнародних агентств із надання кредитів. Інформація про всі згадані види цінних паперів подається у тому ж форматі, що й для облігацій Державної скарбниці США. Приклад 2. Приклад 2 стосується інформації про доходи на векселі Державної скарбниці США. Пригадайте, що векселі скарбниці є дисконтними облігаціями, на відміну від облігацій та білетів скарбниці, які є купонними облігаціями. Відповідно, векселі характеризуються лише строком погашення (перший стовпець). У другому стовпці подано кількість днів до моменту погашення. На ринку векселів Державної скарб­ниці доходи наводять на дисконтній основі*. У стовпці «Bid» подано дисконтний дохід для інвесторів, які хочуть продати векселі дилерам; у стовпці «Asked» — дисконтний дохід для інвесторів, які хочуть купити векселі у дилерів. Різниця між двома величинами визначає межі прибутку (спред) дилерів. В останньому стовпці подано величину доходу на момент погашення (розраховану на основі ціни продавця).

Зауважте, що дохід на момент погашення для короткострокових векселів Державної скарбниці США менший, ніж для довгострокових облігацій скарбниці. Чи ви інвестуватимете всі свої заощадження у довгострокові облігації, щоб отримати вищий дохід? Мабуть, ні. Пам’ятайте, що зростання процентних ставок зумовить зниження ціни облігацій на вторинних ринках (ринках перепродажу). У цій ситуації, якщо ви вирішите продати облігації до досягнення строку погашення, то втратите частину основної суми позики. Звичайно, якщо процентні ставки знизяться, ціна ваших облігацій зросте. Ви можете вирішити інвестувати частину ваших заощаджень у короткострокові векселі скарбниці, а решту — у довгострокові облігації, залежно від ваших прогнозів щодо зростання чи зниження процентних ставок.

Приклад 3. Приклад 3 містить інформацію про облігації корпорацій, якими торгують на Нью-йоркській фондовій біржі (інформація про облігації, якими торгують на Американській фондовій біржі, подається в аналогічному форматі). У першому стовп­ці наведено назву корпорації-емітента облігацій, у нашому прикладі АТ&T — великої компанії в царині телекомунікацій. У наступному стовпці подано поточний дохід, 7,5 % для облігацій D. Третій стовпець повідомляє про обсяг купівлі-продажу цих облігацій; у нашому прикладі того дня продано 65 облігацій. У стовпці «Close» подано ціну закриття (ціну, за якою продано останню облігацію того дня) на 100 дол. номінальної вартості, 99 ¾ для облігації D. В останньому стовпці показано зміну ціни закриття порівняно з попереднім днем торгівлі: ціна облігації D на 100 дол. номінальної вартості зросла на 3/8 проти ціни закриття попереднього дня. Величина доходу на момент погашення не пода­ється, проте його можна обчислити за допомогою програмованого калькулятора або опублікованих таблиць. Зауважте, що дохід на довгострокові облігації корпорацій вищий, ніж на довгострокові облігації скарб­ниці.

Підсумовуючи, можна стверджувати: що триваліший строк погашення облігації, то вагомішою буде зміна її ціни у відповідь на зміну величини доходу на момент погашення. Єдина ситуація, за якої ціна облігації не реагує на зміну доходу на момент погашення, коли період володіння облігацією дорівнює тривалості періоду до моменту погашення.

<< | >>
Источник: Габбард, Р. Глен.. Гроші, фінансова система та економіка: Підручник / Пер. з англ.; Наук. ред. пер. М. Савлук, Д. Олесневич. — К.: КНЕУ,2004. — 889 с.. 2004

Еще по теме ДОХІД ВІД ОБЛІГАЦІЙ ТА ЇХНЯ ЦІНА:

  1. З.ИСЛАМОВ. ОБЩЕСТВО. ГОСУДАРСТВО. ПРАВО. (Вопросы теории) Ташкент, «Адолат» - 2001, 2001
  2. Фигуры, промежуточные между кругом и правильными многоугольниками
  3. Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников
  4. ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ПЛИТ
  5. 2.4 Сегментация и построение контуров изображений объектов
  6. СУБЪЕКТЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРАВА
  7. 1. Содержание (функции) государственного управления
  8. Тема 16. Производство по делам об административных правонарушениях
  9. 3.1. Формирование стратегии развития системы персональных финансов
  10. ГЛОССАРИЙ
  11. Анализ содержания учебного материала школьных учебников с позиции их ориентации на достижение личностных результатов обучения
  12. Введение
  13. Глава I. ОПТИЧЕСКИЕ АНОМАЛИИ В КРИСТАЛЛАХ.
  14. 2. Права и обязанности сторон по договору купли-продажи.