§ 6. Показатели вариации признака

Средние величины раскрывают важную обобщающую характе­ристику совокупности по варьирующему признаку. Рассчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типичны или однородны. Одинаковые средние могут характеризовать совершен­но разнородные совокупности.
Покажем это на элементарном при­мере, который будем усложнять по мере расчета новых показателей вариации.

Предположим, что в одном суде 10 осужденным были назначены такие сроки лишения свободы: 1, 2, 3, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 15 лет, а в дру­гом также 10 осужденным было назначено: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8 лет. Средняя арифметическая в обоих случаях будет одинаковой:

х, =(1 + 2 + 3 + 3 + 4+ 9 + 10+12 +13 + 15) :10= 72:10 = 7,2 года;

х2 = = (6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8):10 = 72:10 = 7,2 года.

Средние равны, а ряды существенно различаются между собой: пер­вый ряд менее однороден, чем второй, следовательно, и средняя первого ряда менее показательна и менее надежна, чем средняя второго.

258

Для того чтобы наши суждения о различиях подобных вариацион­ных рядов были статистически точными, можно прибегнуть к показа­телям отклонений различных вариант от средней. Возьмем пока край­ние отклонения. В первом ряду отклонения первого члена (1) от сред­ней (7,2) равно -6,2, отклонение десятого члена (15) от средней (7,2) равно +7,8. Во втором ряду аналогичные отклонения равны —1,2 и +0,8. Полученные результаты уже можно математически сопоставлять и измерять. Они подтверждают наши предварительные суждения. Те­перь рассчитаем все отклонения значений признаков обоих вариаци­онных рядов от средней арифметической и сведем эти расчеты в табл. 29.

Таблица 29

Расчет отклонений

Первый суд Второй суд
№ п/н Сроки лишения свободы (*) Отклоне­ния от средней (X -X) Квадрат отклонений

(х - Л)2

Сроки лишения свободы (х) Отклоне­ния от средней

(Л - *)

Квадрат отклонений (л* - хУ-
1 1 -6,2 38,44 6 -1,2 1,44
2 2 -5,2 27,04 6 -1,2 1,44
3 3 -4,2 17,64 7 -0,2 0,04
4 3 -4,2 17,64 7 -0,2 0,04
5 4 -3,2 10,24 7 -0,2 0,04
6 9 + 1,8 3,24 7 -0,2 0,04
7 10 +2,8 7,84 8 +0,8 0,64
8 12 +4,8 23,04 8 +0,8 0,64
9 13 +5,8 33,64 8 +0,8 0,64
10 15 +7,8 60,84 8 +0,8 0,64
Итого 72 0 239,60 72 0 5,6

Первый и наиболее простой показатель вариации — это размах ва­риации Л. Он исчисляется в виде разности между наибольшими и наи­меньшими значениями варьирующего признака:

В первом суде размах вариации наказания оказался равным Я{ = = 15—1 = 14, а во втором — К2 = 8-6 = 2. Различия существенны: Я\>Я2 в семь раз. Но может случиться так, что и размах вариации будет одина­ковым, равным. Например, Нх = 15 - 10 = 5; = 8 - 3 = 5, хотя ряды существенно различаются между собой. Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений от средней всех значений признака в вариационном ряду. Последнее можно по­лучить, если рассчитать отклонения всех вариант от средней (хх — х) + + (х2 - х) + и т.д.

(графы 3 и 6 табл. 29) и исчислить среднюю арифмети­ческую из всех отклонений.

При изложении средней арифметической величины мы установи­ли, что сумма всех положительных (которые больше средней) и всех отрицательных (которые меньше средней) отклонений равна нулю, что мы и видим в итоге граф 3 и 6 табл. 29. Поэтому при расчете средней арифметической из отклонений необходимо абстрагироваться от зна­ков «+» и «—». В этом случае сумма отклонений Х(х — х), разделенная на число отклонений п, а при наличии частот — на число/, и будет сред­ним арифметическим отклонением. В связи с этим расчетная формула будет выглядеть так:

!(*-*>/ ? I/

В результате мы получили среднее арифметическое (линейное) от­клонение, которое обозначается символом Ъ. Это вторая мера измере­ния вариации признака.

Среднее арифметическое (линейное) отклонение в статистиче­ском анализе применяется редко. Обычно используют третий показа­тель вариации — дисперсию, или средний квадрат отклонений. Она обо­значается символом а2 (сигма малая в квадрате) и представляет собой то же среднее арифметическое отклонение (3), но только отклонения возведены в квадрат, и из квадратов отклонений исчисляют среднюю величину:

2 2

а = —------------- , а при наличии частот а2 = ^ _----------------- .

£/

При расчете дисперсии не надо абстрагироваться от знаков (+ и —) отклонений, так как при возведении в квадрат все знаки отклонений становятся положительными.

Если извлечь корень квадратный из дисперсии, то мы получим сле­дующий, четвертый, показатель вариации — среднее квадратическое от­клонение, которое обозначается символом а (сигма малая):

о = ^сг = л —------------ , а при наличии частот о = л —---------------- .

V п V п

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наиболее распространенными и общепринятыми показателями вариации изучаемо­го признака.

В юридической статистике они используются при сравнительных статистических исследованиях, для обоснования ошибки репрезента­тивности (ошибки выборки) выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и иных статистических связей между при­знаками фактора и признаками следствия, или мржду причиной и следствием.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение обладают рядом свойств, которые приводятся без доказательств:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или умень­шить на какое-то постоянное число А;

3) если все варианты умножить на какое-то постоянное число А, то дисперсия увеличится в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз;

4) если все варианты разделить на какое-то постоянное А, то диспер­сия уменьшится в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз.

Эти и другие свойства дисперсии могут быть использованы для уп­рощения и оптимизации техники расчетов.

В графах 4 и 7 табл. 29 мы находим квадрат отклонения каждой вари­анты и их суммы. Использовав их, мы и рассчитаем дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение для мер наказания 1-го и 2-го судов.

_ 239,9 п 10

нее квадратическое отклонение: а{ = ^а] = д/23,96 = 4,9 года. Дис- У(х-х)2 56

Персия а 2 = —------------- = — = 0,56 для второго суда, а среднее квадра-

п 10

тическое отклонение: с2 = д/оУ = 70,56 = 0,75 года.

Таким образом, меры наказаний, вынесенные первым судом, от­клоняются от среднего на 4,9 года, а вынесенные вторым судом — на 0,75 года. Разница достигает 6,5 раза. Это существенно. Таким обра­зом, средняя второго суда действительно более надежна, типична и по­казательна.

Пятый (по счету) показатель вариации — это коэффициент вариа­ции. В отличие от размаха вариации, среднего линейного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, которые выражаются в аб­солютных и именованных числах, коэффициент вариации является показателем относительным. Он выражается в процентах, обозначает­ся символом К и рассчитывается по формуле:

= а • 100%

X

где V— коэффициент вариации; а — среднее квадратическое отклонение; 5с — средний арифметический показатель.

В наших примерах коэффициент вариации будет равен: ¥, 4,9-100%

V. =------------- = 68,1%, для первого суда;

1 7,2

0,75-100% 1Л/1С/

К =--------------- = 10,4%, для второго суда.

Дисперсия с \ = —--------------- = = 23,96 для первого суда, а сред-

7,2

Коэффициент вариации предоставляет большие возможности для сравнительных изучений, поскольку сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Коэффициент вариации в известной мере яв­ляется критерием типичности средней. Если он относительно боль­шой (например, выше 40%), то это значит, что типичность такой сред­ней очень невысока. И наоборот, если его значение малое, то средняя является типической и надежной.

<< | >>
Источник: Лунеев В.В.. Юридическая статистика: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп., с изм. — М.: Юристъ, — 394 с.. 2007

Еще по теме § 6. Показатели вариации признака:

  1. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
  2. 2.2.4.1. Проверка показателей бухгалтерской отчетности По формальным и качественным признакам
  3. 11.1.2. ПРЕДПОЛАГАЕМЫЕ ВАРИАЦИИ
  4. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
  5. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
  6. 6. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ (в пренебрежении случайными вариациями спроса)
  7. 6.Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса.
  8. 8.Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий
  9. 7. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ (в пренебрежении случайными вариациями длительностей отдельных стадий проекта)
  10. 14.2. Общие макроэкономические показатели. Характеристика макроэкономических показателей
  11. ПРИЗНАК РЕЗУЛЬТАТИВНЫЙ
  12. ПРИЗНАК ФАКТОРНЫЙ
  13. ПРИЗНАК ФАКТОРНЫЙ
  14. ПРИЗНАК КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ
  15. ПРИЗНАК РЕЗУЛЬТАТНЫЙ (РЕЗУЛЬТАТИВНЫЙ)
  16. ПРИЗНАК
  17. ПРИЗНАК
  18. 1.4. Признаки исполнительной власти
- Кодексы Российской Федерации - Юридические энциклопедии - Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административное право (рефераты) - Арбитражный процесс - Банковское право - Бюджетное право - Валютное право - Гражданский процесс - Гражданское право - Договорное право - Жилищное право - Жилищные вопросы - Земельное право - Избирательное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Коммерческое право - Конституционное право зарубежных стран - Конституционное право Российской Федерации - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Международное право - Международное частное право - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Оперативно-розыскная деятельность - Основы права - Политология - Право - Право интеллектуальной собственности - Право социального обеспечения - Правовая статистика - Правоведение - Правоохранительные органы - Предпринимательское право - Прокурорский надзор - Разное - Римское право - Сам себе адвокат - Семейное право - Следствие - Страховое право - Судебная медицина - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Участникам дорожного движения - Финансовое право - Юридическая психология - Юридическая риторика - Юридическая этика -