Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной

заключается в следующем.

Находится f'(x).

Вычисляются корни уравнения f'(x)=0 - стационарные точки x^), iе I = {1,2,...,N }, где N - число стационарных точек. Полагается к=2.

Находится f(к)(x).

Вычисляются значения f(к^ ()) для всех i е I.

Если f(к^ )ф 0, то определяется тип стационарной точки x(i) и ее номер исключается из множества I.

Проверяется условие определения типа всех стационарных точек

1=0.

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6.

Если условие не выполняется, то полагается к=к+1 и осуществляется переход к п.3.

Вычисляются предельные (при x — то и x — -то) значения f(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

Вычисляются значения f(x) на множестве точек локальных экстремумов. По наименьшему из полученных значений f определяется точка глобального минимума, по наибольшему из полученных значений f - точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных

экстремумов функции f(x) = (1 - x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f'(x) = -3(1 - x)2. Вычисляем корни уравнения f'(x) = 0 :

- 3(1 - x)2 = 0 — (1 - x)2 = 0 — x(1) = 1.

Получили одну стационарную точку (I = {1 }) x^ = 1.

Определяем характер стационарной точки. Находим вторую производную f(x):

f'(x) = 6(1 - x).

Вычисляем значение f"(x) в точке x^) :

f\ xa) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную f(x):

Г (x) = -6 ф 0.

Поскольку порядок к первой необращающейся в нуль в точке x=1 производной есть нечетное число (к=3), то точка x=1 является точкой перегиба (1=0).

Вычисляем предельные значения fx):

lim f (x) = lim (1 - x)3 = {lim (1 - x) }3 = (1 - то)3 = -то,

x—то x—то x—то

lim f (x) = lim (1 - x)3 = { lim (1 - x) } = (1 + то)3 = то.

x—-TO X—-TO X—-TO

Поскольку

V = max{ lim f (x), lim f (x)} = +то,

x—то x—-to

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W = min{lim f (x), lim f (x)} =-то ,

x—то x—-to

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функция f (x) = (1 - x)3 экстремумов не имеет. Пример 2. Определить точки локальных и глобальных

экстремумов функции f (х) = (1 - х)4. Решение.

Находим первую производную У(х):

f'(х) = -4(1 - х)3. Вычисляем корни уравнения f'(х) = 0 :

- 4(1 - х)3 = 0 ^ (1 - х)3 = 0 ^ х(1) = 1.

Получили одну стационарную точку (I = { 1 }) х^ = 1.

Определяем характер стационарной точки. Находим вторую производную У(х): f'(х) = 12(1 - х)2. Вычисляем значение f" (х) в точке х(1) :

f \ х(1) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную У(х):

fт (х) = -24(1 - х).

Вычисляем значение f"(х) в точке х^ : f "( ха) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную У(х):

f (4)(х) = 24 Ф 0.

Поскольку порядок к первой необращающейся в нуль в точке х=1 производной есть четное число (к=4) и f (4)(х) > 0, то точка х=1 является точкой локального минимума (1=0). Вычисляем предельные значения fх):

lim f (х) = lim (1 - х)4 = {lim (1 - х) } 4 = (1 - -)4 = ~

lim f (х) = lim (1 -х)4 = { lim (1 -х) }4 = (1 + -)4 = ~

Поскольку

V = max{ lim f (х), lim f (х)} = ,

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W = min{lim f (x), lim f (x)} =+то ф-то,

x—то x—-TO

то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значение f(x) в точке x=1:

f (x = 1) = 0.

Определяем точку глобального минимума f(x): min f (x) = min {f (x = 1), W }= min {0, + то }= 0 = f (x = 1).

xeR1

Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимума fx).

Ответ: функция f (x) = (1 - x)4 имеет в точке x=1 глобальный минимум.

Пример 3. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f (x) = —.

1 + x 2

Решение.

Находим первую производную f(x): f'(x) :

1 + x2 - x • 2 x 1 - x2

(1 + x2)2 (1 + x2)2 Вычисляем корни уравнения f'(x) = 0 :

1 - x 2 2

0 — 1 - x2 = 0 — x(12) =±1.

/1 2\2 ~ (1,2) (1 + x2)2 ^ ;

Получили две стационарные точки (I = {1, 2 }) :

x(1) = 1, x(2) = -1. Определяем характер стационарных точек. Находим вторую производную f(x):

„ = - 2x(1 + x2)2 - 2(1 + x2 )2x(1 - x2 ) = 2x(x2 - 3)

f (x) = (1+77 = (1 + x2)3 "

Вычисляем значение f " (x) в точке x^) : f'(х(1. = 1) = = -4 = -0,5 < 0.

J У (1) 7 (1 +1)3 8 '

Следовательно, х=1 является точкой локального максимума (I = {2 }).

Вычисляем значение f" (х) в точке х(2) :

f "(х(2) = -1) = - 2(1 - 3) = 4 = 0,5 > 0. J У (2) 7 (1 +1)3 8 '

Следовательно, х = -1 является точкой локального минимума (1=0).

Вычисляем предельные значения ДХ):

lim f (х) = lim -х-г = lim \ = lim \ ^ = = 0,

х—~ х—~ 1 + х х—~ х (1 +1/х ) х—~ х(1 + 1/х ) 1

х 11 lim f (х) = lim = lim j—— = = 0.

х—-~ х—-~ 1 + х х—-~ х(1 +1/х ) (-~)1

Поскольку

V = max{ lim f (х), lim f (х)} = 0 ф ,

х—~ х—

то ДХ) имеет конечный глобальный максимум. Поскольку

W = min{lim f (х), lim f (х)} = 0 ф ,

х—^^ х—

тоДХ) имеет конечный глобальный минимум.

Вычисляем значения ДХ) в точках локальных экстремумов:

f (х = 1) = -i- = 0,5; 1 +12

-1

f (х = -1) = Цр = -0,5.

1 + (-1)2

Определяем точку глобального минимума ДХ): min f (х) = min {f (х = -1), W } = min {- 0,5; 0}= -0,5 = f (х = -1).

хеН1

Таким образом, точка х = -1 является точкой глобального минимума ДХ).

Определяем точку глобального максимума f(x): max f (x) = max{f (x = 1), V } = max{0,5; 0}= 0,5 = f (x = 1).

xeR1

Таким образом, точка x = 1 является точкой глобального максимума f(x).

x

Ответ: функция f (x) = имеет в точке x = -1 гло-

1 + x

бальный минимум, а в точке x =1 - глобальный максимум.

<< | >>
Источник: Харчистов Б.Ф.. Методы оптимизации. 2004

Еще по теме Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной:

  1. 1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
  2. Тема 5 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СЕТИ ЭВМ
  3. Классические методы определения экстремумов
  4. Глава І. УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИЙ
  5. 4.3. Природа и функции форм сетевой локальности и их место в структуре экономических отношений
  6. 1.2. функция многих переменных
  7. 5.3.4. Производственная функция с непрерывным изменением переменного фактора
  8. 5.4. Определение оптимального объема производства с одним переменным фактором на стадии II
  9. Тема 3. ФУНКЦИЯ СОТРУДНИЧЕСТВА С ДРУГИМИ ГОСУДАРСТВАМИ В РЕШЕНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ
  10. 1.2. СУЩНОСТЬ И ФУНКЦИИ ФИНАНСОВ И БЮДЖЕТА В РЕАЛИЯХ ГЛОБАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ