3.B.2 Рационализация. Теорема Африата.

Мы рассмотрели получение по совокупности данных (p1, x1),..., (pn, xn) оценки для множества L+ (xl) для одного из наборов, xl. Можно поставить более сложную задачу рацио-

Рис. 3.13. Оценка снизу для верхнего лебеговского множества L+(x'")

нализации данного набора наблюдений: найти предпочтения, которые могли бы порождать такие наблюдения.

Ясно, что такая задача не имеет однозначного решения, но хотелось бы получить хотя бы одно подходящее решение. Если мы не уверены, что данные получены на основе рационального выбора, то решения у данной задачи может не быть. Поэтому желательно иметь алгоритм, с помощью которого можно было бы определить, можно ли рационализовать имеющиеся данные.

Неоклассические предпочтения (у, на X рационализуют наблюдения за вы

бором (p1, x1),..., (pn, xn) (хг ? X Vi), если хг x для всех i = 1,..., n и всех х ? X, таких что p*x ^ plxl.

Это уточнение Определения 16 для случая потребительского выбора. При этом потребитель выбирает из бюджетного множества. Неявно предполагается, что предпочтения локально ненасыщаемы, так что если при ценах p* был выбран набор x*, то доход потребителя был равен plxl.

Предположим, что мы имеем цепочку наборов i,j, k, ...,r и опять i, такую что plxj ^ plxl, pjxk ^ pjxj,..., prx* ^ prxr. Другими словами, в этой цепочке по кругу каждый набор непосредственно выявленно не хуже последующего. В этой цепочке ни одно неравенство не может быть строгим. Действительно, например, prx* < prxr влекло бы x* И> x*, т. е. x* У x* (набор лучше самого себя), что невозможно. Невозможность существования подобных циклов, т. е. невозможность того, чтобы набор по цепочке был выявленно лучше самого себя, по аналогии с общим определением, данным в гл. 2 (Определение 17 на с. 47) следует назвать обобщенной аксиомой выявленных предпочтений (ОЛИР).Таким образом, имеем следующую переформулировку GARP для модели поведения потребителя :

Совокупность данных (p1, x1),..., (pn, xn) удовлетворяет обобщенной аксиоме выявленных предпочтений, если не существует циклов вида plxj ^ p*x*, pjxk ^ pjxj , ..., prx* ^ prxr , где одно из неравенств строгое.

Найти предпочтения, рационализующие набор данных, можно только тогда, когда он удо-влетворяет требованиям обобщенной аксиомы выявленных предпочтений. Теорема 12 гл. 2 (см.

с. 47) демонстрирует, как при выполнении GARP сконструировать предпочтения на конечном множестве точек {xi}i=i,...,n. Если множество допустимых наборов X более широкое, то нужно каким-то образом непротиворечиво распространить найденные предпочтения на остальные наборы из X.

Теорема Африата предлагает такое продолжение предпочтений на все множество X. Более того, согласно этой теореме, тот факт, что наблюдаемый выбор удовлетворяет GARP, эквивалентен существованию «хорошей» функции полезности, рационализующей данный выбор.

Теорема 38 (теорема Африата):

Набор данных удовлетворяет GARP, тогда и только тогда, когда существует кусочно- линейная, непрерывная и вогнутая функция полезности, которая их порождает. J

Доказательство: То, что это необходимое условие, мы уже видели. Нетривиальным утверждением здесь является достаточность.

Предположим, что мы сконструировали предпочтения на множестве точек {xi}i=i,...,n так, что выполнены необходимые условия рациональности

x* И> xj ^ x* ^ xj, x* И> xj ^ x* >- xj,

и отсортировали свой набор данных согласно этим предпочтениям так, что x1 ^ x2 ^ ¦ ¦ ¦ ^ xn.

Введем обозначения a*j = p*(xj — x*). Выполнение неравенства a*j < 0 означает, что x* И> xj, если же неравенство строгое, то x* И> xj.

Для упрощения доказательства мы предположим, что a*j = 0 при i = j, т. е. что в наших данных нет совпадений, и на каждой бюджетной гиперплоскости p*x лежит только один из наблюдаемых наборов — x*. Теорема верна и без этого предположения, но оно несколько упрощает рассуждения.

Чтобы доказать теорему, следует доказать, что существует набор чисел u1,..., un и Л1,..., An > 0, которые бы удовлетворяли следующей системе линейных неравенств (назовем их неравенствами Африата):

uj ^ u* + Л*a^ для всех i, j.

или, так как ajj = 0,

uj + Ajajj ^ u* + A* a*/ для всех i, j.

Если такие числа найдутся, то функцию полезности можно построить по формуле

u(x) = min{u* + A*p*(x — x*)}.

*

Несложно проверить, что u* — значение этой функции в точке x*:

u(xj) = min{u* + A'p^x-7 — x*)} = min{u* + A'a^-} = uj + Aj ajj = uj.

* *

Далее, для любого набора xj из нашей совокупности, если для произвольного вектора x выполнено соотношение pjx ^ pjxj , то u(x) ^ u(xj). Действительно,

u(x) ^ uj + Ajpj(x — xj) ^ uj = u(xj).

Первое неравенство здесь следует из определения u(x), а второе — из положительности Aj. Тем самым, как мы видим, существование решения неравенств Африата гарантирует существование «хорошей» функции полезности, которая могла бы породить эти данные (любой набор, доступный в i-й ситуации выбора не лучше x* по этой функции полезности).

Доказательство существования решения неравенств Африата проведем по индукции. При n =1 величины u1 и Л1 можно выбрать произвольным образом; требуется только, чтобы Л1 > 0.

Пусть существуют u1,..., un-1 и Л1,..., Лп-1 > 0, являющиеся решением неравенств Африата для наборов i = 1,..., n — 1. Найдем решение в случае n наборов. Выберем un так, чтобы

un ^ min {U + Л^^"" — x')} = min {u' + Л'ап}.

i=1,...,n-1 i=1,...,n-1

Затем выберем Лп так, чтобы

uj ^ un + Лпап^ для j = 1,..., n — 1.

Требуется показать, что такое Лп существует.

Наборы упорядочены так, что среди x1,..., xn-1 нет ни одного, который был бы выявленно хуже, чем xn. Поэтому pnxj > pnxn при j = 1,..., n — 1, т. е. anj = pn(xj — xn) > 0 при j = 1,...,n — 1. (Как сказано выше, мы делаем упрощающее предположение aj = 0 при i = j.) Поскольку anj > 0 при j = 1,..., n — 1, то найдется достаточно большое Лп, которое бы удовлетворяло всем этим неравенствам . Это такое Лп, что

\ n ^ u ^ u Лп ^ max

nj

j=1,...,n-1 а

Таким образом, мы доказали по индукции, что неравенства Африата имеют решение, и тем самым доказали, что u(x) рационализует наблюдаемый выбор. В формуле

u(x) = min{u' + Л^^ — x')}.

i

каждая из функций u' + Л^^ — x') является линейной, а потому непрерывной и вогнутой. Следовательно, их поточечный минимум u(x) — кусочно-линейная, непрерывная и вогнутая функция. ¦

Поясним смысл неравенств Африата. Пусть x — решение задачи потребителя при ценах p и доходе px. Соответствующая функция Лагранжа задачи потребителя имеет вид

L(x, Л) = u(x) + Лp(X — x).

Если выполнены условия регулярности (p = 0), то существует множитель Лагранжа Л ^ 0, такой что (x, Л) — седловая точка функции Лагранжа. (Если предпочтения локально ненасыщаемы, то здесь Л > 0.) Отсюда следует, что x максимизирует функцию u(x)+^(x—x). Пользуясь этим условием, получаем, что если существует функция полезности u(-), которая рацио-нализует имеющиеся наблюдения, то x' должен максимизировать функцию u(x) + Л^^ — x) при некотором множителе Лагранжа Л' > 0 .В частности, при x = xj должно быть выполнено

u(x') = u(x') + ЛУ(^ — x') ^ u(xj) + Лipi(xi — xj).

Замечание: Если дополнительно предположить, что p' > 0 при всех i, и X = R+, то функция u(x) , определяемая данной теоремой, является также строго монотонной, поскольку строго монотонна каждая из функций u' + Л'p'(x — x'). Соответственно, u(x) будет также локально ненасыщаемой.

Замечание: Следствием этой теоремы является то, что непрерывность, монотонность и вогну-тость функции полезности (непрерывность, монотонность и выпуклость предпочтений) нельзя опровергнуть на основе конечного набора данных о выборе потребителя на бюджетных множествах.

Замечание: То, что теорема Африата основана на конструировании «хорошей» функции полезности, ни в коем случае не означает, что данные нельзя рационализовать какой-то другой функцией, не обладающей указанными свойствами.

<< | >>
Источник: Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень. 2005

Еще по теме 3.B.2 Рационализация. Теорема Африата.:

  1. 2.2.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
  2. Теорема сравнительных преимуществ (теорема Рикардо)
  3. 2.A.1 Рационализация наблюдаемого выбора
  4. Инвестирование текущей рационализации производства
  5. Рационализация действия
  6. 2. Процесс рационализации политико-правовых воззрений
  7. Рационализация надзорных процедур
  8. Теория рационализации Ф. Тейлора
  9. Культурные аспекты модернизации. Секуляризация, рационализация, культурная дифференциация
  10. 17.3. Теоремы о неподвижной точке
  11. 17.4. Теоремы отделимости