Приложение А НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТЫ

В этом приложении мы даем обзор некоторых базовых алгебраических и графических инструментов, используемых в этой книге.

А.1 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Функция - это взаимосвязь между двумя или более переменными.

Для экономической иллюстрации функции предположим, что в определенной фирме каждый наемный работник может производить пять единиц продукции в день. Пусть

N = количество работников в фирме;

У= общий дневной выпуск фирмы.

В этом примере взаимосвязь выпуска, У, и количества работников, Ы, имеет следующий вид;

У=5№ (А.1)

Уравнение А.1 является примером функции, связывающей переменную У с переменной N. Используя эту функцию для любого числа работников, N мы можем рассчитать общий объем выпуска, У, который фирма может производить каждый день. Например, если N= 3, то У = 15.

Функции могут описываться как графически, так и алгебраически. График функции У = 5№для значений N между 0 и 16 показан на рис. А.1. Выпуск, У, показывается на вертикальной оси, а количество рабочих, М показывается на горизонтальной оси. Точки на линии ОЛЯ удовлетворяют уравнению А.1. Например, в точке А N = i, а У = 20, комбинация N и У, которая удовлетворяет уравнению А.1. Аналог ичным образом в точке В N = 12,5, У = 62,5, что также удовлетворяет соотношению ?~5Ы. Заметим, что (например, в точке В) взаимосвязь между У и N позволяет переменным иметь значения, которые не являются целыми числами. Допущение дробных значений N и У обоснованно, потому что работники могут работать неполный рабочий день или сверхурочно, а единицы выпуска могут быть только частично завершены в течение дня.

Такие функции, как У = 5Ы, чьим графиком является прямая линия, называются линейными функцимш. Функции, чей график — не прямая линия, называются нелинейнгими. Примером нелинейной функции служит следующая:

У= 20л/М (А.2)

График нелинейной функции У- 20>/Лг изображен на рис. А.2. Все точки на этой кривой удовлетворяют уравнению А.2. Например, в точке СЛГ= 4, У = = 20^4 = 40. В точке О N = 9, У= 20^9 = 60.

12,5 14 16 Работники, N

РИСУНОК

Точки на линии 0/1В удовлетворяют зависимости У=5Ы. Поскольку график функции У= 5М является прямой линией, эта функция называется линейной функцией.

12 14 16 Работники, N

Функция У= 20М, чей график изображен на этом рисунке, представляет собой пример нелинейной функции.

РИСУНОК

а. 1

а. 2

Оба приведенных примера функций описывают конкретные числовые соотношения. Мы также можем записывать функции в более общем виде, используя буквы или символы. Например, мы могли бы написать

(А.З)

Уравнение А.З говорит, что существует некоторая общая зависимость между числом работников, М и объемом выпуска, К, которая описывается функцией, С. Числовые функции, приведенные в уравнениях А.1 и А.2, являются конкретными примерами такой общей зависимости. А.2 НАКЛОНЫ ФУНКЦИЙ

Предположим, что две переменные, N и У, связаны функциональной зависимо-стью, У = Вообще говоря, если мы начинаем с какой-то данной комбинации N и У, которая удовлетворяет функции С, наклон функции С в этой точке показывает, насколько изменяется У, когда N изменяется на одну единицу.

Чтобы определить наклон более точно, мы предположим, что текущее значение ^является конкретным числом, Л',, тогда текущее значение У равно ). Теперь посмотрим, что произойдет, если N увеличится на величину ЛАГ (ЛЛГ читается как «изменение в №»). Выпуск, У, зависит от ЛГ; следовательно, если N изменяется, значение У тоже должно измениться. Величина N теперь равна

+ ДЛГ, поэтому величина У после увеличения //равна С(ЛГ, + ДАО- Изменение У составляет

ДУ= С(ЛГ, + АЛО - С(ЛГ,).

Наклон функции б в случае увеличения Мс до + АЫ равен

наклон = ДУ/ДЛГ = + ДЛ^ - С(ЛГ,)]/[(Л/, + ДЛО - ЛГ,|. (А.4)

Заметим, что, если АМ= 1, наклон равен ДУ, изменению в У.

Рисунки А.З и А.4 графически показывают, как определить наклоны двух функций, обсуждавшихся в предыдущем разделе. Рисунок А.З изображает график функции У = 5Лг(как на рис. А.1). Предположим, что мы начинаем с точки Е на рис А.З, где N = 6, У= 30. Если //увеличивается на 4 (например), мы перемешаемся на графике в точку Р, где 10, У =50. Между Е и Р, 10-6 = = 4, ДУ= 50 - 30 = 20, поэтому наклон ДУ/ДМ = 20/4 = 5.

В целом наклон линейной функции является одним и тем же во всех точках. Вы можете проверить этот результат для линейной функции У= 5Ы, показав, что при любом изменении ДЛУДУ = 5 ДЛГ. Так что для этой конкретной линейной функции наклон ДУ/ДМ всегда равен 5, постоянному числу.

Работники, N

Наклон функции равен изменению в переменной РИСУНОК А.З на вертикальной оси (У), деленному на изменение в переменной на горизонтальной оси (N). Например, между точками Е и ^ увеличение в Ы, ДЛ', равно 4,

а увеличение в К, ДУ, равно 20. Следовательно, наклон функции между Е и Е, ДК/ДЛ', равен 5. В целом наклон линейной функции постоянен, поэтому наклон этой функции между любыми двумя точками равен 5.

14 16 Работники, М

б г

<

с о

РИСУНОК

Между точками С и О изменение н N. АЫ, равно 8, а изменение в У, ДК, равно 40, поэтому наклон функции между точками С и ?) равен ДК/ДЛ' = 40/8 = 5. Этот наклон совпадает с наклоном линии СО. Аналогичным образом наклон функции между точками С и С равен ДК/ДЛ/ = 20/3 = 6,67. Наклон линии касательной в точке С, который равен 10, приблизительно равен наклону функции для очень небольших изменений в N. В целом, когда мы говорим о наклоне нелинейной функции в определенной точке, мы понимаем под этим наклон касательной к графику функции в этой точке.

Для нелинейной функции, такой как У = 20М, наклон не будет постоянным, а зависит от исходного значения N и величины изменения в N. Эти результаты иллюстрируются на рис. А.4, который изображает график функции У = 20>/ЛГ (как на рис. А.2). Предположим, что первоначально мы находимся в точке С, гдеЛГ= 1, У = 20, и мы увеличиваем N на 8 единиц. После увеличения N мы оказываемся в точке Д где М= 9, У = 20>/9 = 60. Между С и О &М = 9-1 =8, а А У = 60 - 20 = 40. Таким образом, наклон функции между С и О равен 40/8 = 5. Геометрически наклон функции между точками б и О равен наклону прямой линии между этими двумя точками.

Если мы снова начнем с точки <7 на рис. А.4, но теперь увеличим N на 3 единицы, мы окажемся в точке С, где N= 4, У= 20^4 = 40. В этом случае AN = 3, ДУ = 40 - 20 = 20, так что наклон между С и С равен 20/3 = 6,67, что не то же самое, что наклон, равный 5, который мы рассчитали, когда до этого увеличивали N на 8 единиц. Геометрически наклон линии между в и С больше, чем наклон линии между С и Д т. е. линия СС круче, чем линия СО.

а. 4

л н и га

у

На рис. А.4 мы также изобразили линию, которая касается, но не пересекает график функции в точке С; эта линия — касательная к 1-рафику функции в точке С. Если вы начинаете с точки С и находите наклон функции для различных значений АN. вы обнаружите, что чем меньше величина АN. тем ближе будет наклон кривой к наклону касательной. Например, если вы сравните наклон линии СО (для которой ^ = 8) с наклоном линии СС (для которой А/У = 3), вы увидите, что из них двоих наклон линии йС ближе к наклону касательной к графику функции и точке G. Для значений AN, еще меньших, чем 3, наклон будет еще ближе к наклону касательной.

Эти наблюдения приводят нас к важному выводу: для небольших значений ДN наклон функции в любой точке близко приближается к наклону касательной к функции в этой точке. Если специально не оговаривается, го в этой книге, ког-да мы говорим о наклоне нелинейной функции, мы подразумеваем наклон касательной к функции в определенной точке. Таким образом, на рис. 4.А наклон функции в точке G означает наклон касательной к графику функции в точке G, который, как получается, рапен 10.

Количественный пример, приведенный на рис. А.4, показывает, что наклон нелинейной функции зависит от рассматриваемой величины прироста N. Наклон нелинейной функции также зависит от точки, в которой измеряется наклон. На рис. А.4 видно, что наклон линии, касательной к точке D, например, будет меньше, чем наклон линии, касательной к точке G. Поэтому наклон конкретной функции (измеренный в отношении небольших изменений N) в точке G больше, чем в точке D.

А.З ЭЛАСТИЧНОСТЬ

Подобно наклонам, эластичность показывает, насколько реагирует одна переменная при изменении другой переменной. Снова предположим, что существует функция, связывающая У с N, так что когда изменяется N. Y тоже меняется. Эластичность У относительно N определяется как процентное изменение в У, Д Y/Y, деленное на процентное изменение в N, AN/N. Переписав это в виде формулы, мы получаем

эластичность У относительно N= (AY/Y)/(AN/N).

Поскольку наклон функции равен AY/AN. мы также можем записать эластичность Y по отношению к N как наклон функции, умноженный на (N/Y).

Если эластичность К относительно// велика, изменение в Nm 1% вызывает большое процентное изменение в Y. Таким образом, большая эластичность У относительно N означает, что У очень чувствителен к изменениям в N.

А.4 ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функция может связывать более двух переменных. Чтобы продолжить пример из раздела А.1, предположим, что дневной выпуск фирмы, У, зависит как от количества работников, N. которых нанимает фирма, так и от количества машин (или что то же самое, количества капитала), К, которым владеет фирма. В частности, функция, связывающая Ус К и N, могла бы иметь следующий вид:

y=2V/CVM (А.5)

Так, если есть 100 машин и 9 рабочих, подставляя К = 100 и N= 9 в уравнение А.З, мы получаем значение выпуска У= 2V100V9 = 2 * 10 х 3 = 60.

Также мы можем записать функцию нескольких переменных в общем виде, используя символы или буквы. Обычно зависимость между выпуском, У, и двумя факторами производства, капиталом, К, и грудом, N, записывается так:

У= Г (К, N). Это уравнение является небольшим упрощением зависимости, получившей название производственной функции, которую мы вводим в главе 3.

График функции, связывающей три переменные, требует трех измерений. Чтобы удобным способом изобразить на графике подобную функцию на двухмерной странице, мы принимаем одну из переменных в правой части равенства за постоянную величину. Чтобы графически нарисовать функцию из уравнения А.5, мы должны считать количество станков, К, постоянным на уровне 100 штук. Если мы подставим 100 вместо К, уравнение А.5 примет следующий вид:

У=2%/Ю0М=20М. (А.6)

Если К остается постоянным на уровне 100 единиц, уравнение (А.6) идентично уравнению А.2. Подобно уравнению А.2, уравнение А.6 выражает взаи-мозависимость только между У и N и поэтому может быть изображено на двухмерном графике. График уравнения А.6, показанный сплошной кривой на рис. А.5, похож па график уравнения А.2 на рис. А.2.

А.5. СДВИГ КРИВОЙ

Предположим, что зависимость между выпуском, У, и, машинами, /С, и работниками, М задается уравнением А.5 и мы считаем величину К постоянной и равной 100.

Как и в разделе А.4, при постоянном значении К. равном 100, уравнение А.5 сокращается до уравнения А.6 и сплошная кривая на рис. А.5 показывает зависимость между количеством работников, Ы, и выпуском, У. В точке С на рис. А.5, например. ЛГ= 4, У= 20^4 = 40. В точке Д где Ы= 9, У= 20^9 = 60.

Работники, N

Предположим, что выпуск, У, зависит от капита- РИСУНОК А.5 ла, К, и работников, Ы, в соответствии с функцией из уравнения А.5. При постоянном значении К, равном 100, зависимость между У и N изображается

сплошной кривой. Если К увеличивается до 225, так что теперь данное количество работников может производить больше продукции, кривая, показывающая взаимосвязь между У и N. сдвигается вверх, от сплошной кривой к пунктирной линии. В целом изме-нение в любой переменной из правой части уравнения, которая не появляется на осях графика, вызывает сдвиг кривой.

Теперь предположим, что фирма покупает дополнительные станки, увеличивая количество машин, К, со 100 до 225. Если мы подставим это новое значение вместо К, уравнение А.5 примет вид

У=2>/225М=30М. (А.7)

Уравнение А.7 графически изображается пунктирной линией на рис. А.5. Заметим, что увеличение К сдвинуло кривую вверх. Благодаря увеличению количества станков объем дневного выпуска, У, который может производиться любым данным количеством работников, N. вырос. Например, первоначально, когда N равнялось 9, выпуск, У, равнялся 60 (точка О на рис. А.5). После увеличения К, если ЛГ= 9, то У = 30>/9 = 90 (точка/ на рис. А.5).

Этот пример иллюстрирует некоторые важные моменты относительно графиков функций нескольких переменных.

Чтобы нарисовать график функции нескольких переменных в двухмерной плоскости, все переменные, кроме одной, в правой части уравнения мы считаем постоянными.

Единственная переменная в правой части выражения, которая не является постоянной (в нашем примере это /V), откладывается на горизонтальной оси графика. Изменения в этой переменной не сдвигают график функции. Вместо этого изменения в переменной на горизонтальной оси приводят к движению вдоль кривой, которая является графиком функции.

Переменные в правой части уравнения, которые считаются постоянными для построения двухмерного графика (в нашем примере это К), не появляются ни на одной из осей графика. Если значение одной из этих переменных изменяется, вся кривая сдвигается. В этом примере для любого количества работников увеличение количества станков, К, означает, что объем выпуска, У, может быть увеличен. Поэтому кривая смещается вверх, от сплошной кривой к пунктирной кривой на рис. А.5.

А.6 ЭКСПОНЕНТЫ

Степени чисел или переменных могут быть выражены посредством использования экспонент (показателей степени). В следующих примерах 2 и 4 являются экспонентами:

Для любых чисел Zflи/l экспоненты подчиняются следующим правилам: 2й х = 2Р*Ь, и (2>)ь =

Иллюстрация первого правила: 52 х 53 = (5 х 5) х (5 х 5 х 5) = 55. Иллюстрация второго правила: (53)2 = (53) х (53) = (5 х 5 х 5) х (5 х 5 х 5) = 56.

Показатели Не должны быть целыми числами. Например, 50-5 представляет собой квадратный корень из пяти. Чтобы понять, почему это так, заметим, что, согласно второму из двух правил для экспонент, (505)2 = 5*0-512 = 55= 5. То есть квадрат 50,5 = 5. Аналогичным образом для любого числа 2 и любого целого числа q 7},я равняется корню У=2К°5№\

где К0'5 = \//С и = Ш

В целом возьмем любое число, которое может быть представлено как отношение двух целых чисел, р и q. Используя правила для степенных показателей, мы получаем

Zp/ч = (2>,)1/ч = корень q-й степени из 7Р.

Так, например, поскольку 0,7 равно 7/10, №1 — это число, которое больше квадратного корня из N, Л/0 5, но меньше самого N.

Показатели степени также могут быть отрицательными или равными 0. В целом выполняются два следующих правила:

2°= 1, и Z"= 1/2".

Это полезный способ связать экспоненты и эластичности: предположим, что две переменные, У и N, связываются функцией следующего вида:

У= kN", (А.8)

где а — это число, а k может быть числом или функцией переменных, отличных от N. Тогда эластичность У относительно N (см. раздел А.З) равна а.

А.7 ФОРМУЛЫ ТЕМПОВ РОСТА

Пусть X и Z — это любые две переменные, не обязательно связанные функцией, которые изменяются с течением времени. Пусть АХ/Х и AZ/Z представляют темпы роста (процентные изменения) X и Zсоответственно. Тогда нижеследующие правила обеспечивают полезные приближения (доказательства различных правил включаются для справки).

Правило 1. Темп роста продукта X и Z равен темпу роста X плюс темп роста Z.

Доказательство-, предположим, что X увеличивается на ДА', а Z увеличивается на AZ. Тогда абсолютный прирост в результате X и Z равен (X + АX)(Z + + АZ) - XZ, а темп роста результата X и Z равен

темп роста (XZ) = [ (X + AX)(Z + AZ) - XZ]/XZ = (А.9)

= [(AX)Z + (ДZ)X + АХАД/XZ = АХ/Х + AZ/Z + AXAZ/XZ.

Последнее слагаемое с правой стороны уравнения А.9, AXAZ/XZ, равно темпу роста X, АХ/Х, умноженному на темп роста Z, АZ/Z. Это слагаемое в целом незначительно; например, если темпы роста X и Zo6a равны 5% (0,05), результат этих двух темпов роста будет равен всего 0,25% (0,0025). Если мы предполагаем, что это последнее слагаемое достаточно мало, чтобы игнорировать его, уравнение А.9 показывает, что темп роста результата XZ равен темпу роста X, АХ/Х, плюс темп роста Z, AZ/Z.

Правило 2. Темп роста отношения X к Z равен темпу роста X минус темп роста Z.

Доказательство: пусть IVесть отношение X к Z, т. е. W= X/Z. Тогда X = ZW. Согласно правилу 1, если X есть продукт Z и W, то темп роста X равен темпу роста Z плюс темп роста W:

АХ/Х = AZ/Z + Д W/W.

Переписав это уравнение так, чтобы АW/Показалось слева, и вспоминая, что А W/W равно темпу роста (X/Z), мы получаем

темп роста (X/Z) = АХ/Х - AZ/Z. (А. 10)

Правило 3. Предположим, что У — это переменная, которая является функцией двух других переменных, X и Z. Тогда

ДУ/У = Лк *ДХ/Х + Пу. А2/2,

где г)у х — это эластичность Уотносительно X, а г\г_г — это эластичность У относительно 2.

Доказательство (неформальное): предположим, что изменяется только X, поэтому Ь2./2 = 0. Тогда уравнение А.11 превращается в определение эластичности, Пу ^ = (ДУ/У)/(Д^/Х). как в разделе А.З. Аналогичным образом, если изменяется только 2, уравнение А.11 принимает вид т!к г= (&У/У)/(/±2/2), что является определение эластичности Уотносительно 2. Если изменяются одновременно X и 2, уравнение А.11 показывает, что общий результат для У приблизительно равен сумме отдельных результатов для У от изменения в А' и изменения в 2.

(А.12)

Правило 4. Темп роста X в степени а, или X", равен а, умноженному на темп роста X:

темп роста (X") = а( АХ/Х).

Доказательство: пусть У = X". Применяя правило из уравнения А.8 и взяв к = 1, мы находим, что эластичность Уотносительно X равна а. Следовательно, согласно уравнению А.11, темп роста У равен а, умноженному на теми роста X. Поскольку У= X", темп роста У тот же самый, что и темп роста X", что доказывает зависимость в уравнении А. 12.

Пример: реальная процентная ставка. Чтобы применить формулы темпов роста, мы выведем уравнение, которое связывает реальную процентную ставку с номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции, уравнение 2.12.

(А.13)

Реальная стоимость любого актива — скажем, сберегательного счета - равна номинальной, или долларовой, стоимости актива, деленной на уровень цен:

реальная стоимость актива = = (номинальная стоимость актива)/(уровень цен).

Реальная стоимость актива — это отношение номинальной стоимости актива к уровню цен, поэтому в соответствии с правилом 2 темп роста реальной стоимости актива приблизительно равен темпу роста номинальной стоимости актива минус темп роста уровня цен. Темп роста реальной стоимости приносящего процент актива равен реальной процентной ставке, приносимой активом; темп роста номинальной стоимости приносящего процент актива — это номинальная процентная ставка для этого актива, а темп роста уровня цен равен уровню инфляции. Следовательно, правило 2 подразумевает следующее соотношение:

реальная процентная ставка = номинальная процентная ставка - уровень инфляции,

что аналогично зависимости, приведенной в уравнении 2.12.

ЗАДАЧИ

Постройте график функции У = ЗХ + 5 для 0 < X < 5. Чему равен наклон графика этой функции?

Постройте график функции У - X1 + 2 для 0 ? X ? 5. Начиная с точки, в которой Х= 1, найдите наклон функции для ДА'= 1 и АХ= -1. Чему равен наклон касательной к графику функции в точке X - 1? (См. задачу 3.)

(А.11)

Для функции У = X1 + 2 используйте уравнение А.4, чтобы написать общее выражение для наклона функции. Это выражение для наклона фа- фика будет зависеть от первоначального значения X, Ху и от изменения в X, АХ. Для значений ДХ, достаточно малых, чтобы слагаемое (АХ)2 можно было игнорировать, покажите, что наклон зависит только от первоначального значения А', Ху Чему равен наклон функции (который совпадает с наклоном касательной), когда Xt = 1?

Предположим, что величина выпуска, У, который может произвести фирма, зависит от величины ее капитала, К. и количества занятых рабочих, N, в соответствии с функцией

у=к0л?0.7

а) Допустим, что N= 100. Приведите функцию, которая связывает Ус К, и нарисуйте ее график для 0 < К < 50. (Вам нужно лишь рассчитать достаточное количество значений Y, чтобы получить приблизительную идею о форме этой функции.)

б) Что произойдет с функцией, связывающей У и К и с графиком этой зависимости, если N возрастет до 200? Если N упадет до 50? Дайте экономическую интерпретацию.

в) Для функции, связывающей Ус К и N. найдите эластичность У отно-сительно К и эластичность У относительно N.

Используйте калькулятор, чтобы найти значения следующих выражений:

а) 5W

б) 5«5М

в) (5025)2

г) (5М5М)15М

д) 5°'У5М

е) 5 м

а) Номинальный ВВП равен реальному ВВП, умноженному на дефлятор ВВП (см. и. 2.4). Предположим, что номинальный ВВП растет на 12% в год, а реальный ВВП растет на 4%. Чему равна инфляция (теми роста дефлятора ВВП)?

б) «Скорость обращения» денег, V, определяется уравнением

V = PY/M,

где Р — это уровень цен, У - реальный выпуск, М — денежная масса (см. уравнение 7.4). В конкретный год скорость обращения денег по-стоянна, темп роста денежной массы равен 10%, а инфляция (темп роста уровня цен) составляет 7%. Чему равен темп роста реального выпуска?

с) Выпуск, У, связан с капиталом, К. и количеством рабочих, N, функцией У= ЮК^Л/Ч

В конкретный год запас капитала растет с темпом 2%, а количество работников растет на 1%. С каким темпом растет выпуск?

<< |
Источник: Абель Э., Бернанке Б.. Макроэкономика. 2010

Еще по теме Приложение А НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТЫ:

  1. § 1. Страхование ответственности как способ увеличения общественной полезности физических и юридических лиц, а также как инструмент защиты их прав и законных интересов
  2. § 4. Закон убывающей предельной полезности. Измерение величины полезности
  3. СЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКИЙ
  4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ
  5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ
  6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ
  7. 1.3 Сводка некоторых результатов
  8. 2.Полезность
  9. 3.4. Система аналитических коэффициентов
  10. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  11. Аналитические процедуры
  12. Аналитические схемы
  13. Спор о содержании аналитического теоретизирования
  14. СЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКИЙ
  15. Аналитический метод