3.2. ЗНАКОМСТВО С БЕССРОЧНОЙ РЕНТОЙ И АННУИТЕТОМ

К некоторым случаям применимы шаблонные приемы оценки, которые облегчают исчисление приведенной стоимости. Давайте рассмотрим несколько примеров.

Среди ценных бумаг, выпускаемых британским правительством, есть так называе­мая бессрочная рента.

Это облигации, по которым правительство не берет обязательств погашения, но предлагает ежегодный фиксированный доход на неограниченный срок. Годовая доходность бессрочной ренты равна обещанным годовым выплатам, делен­ным на приведенную стоимость:

_ денежный поток

Доходность - приведенная стоимость' _

Г~ РУ

Очевидно, что мы можем преобразовать это выражение, чтобы найти приведенную стоимость бессрочной ренты при любой ставке дисконтирования г и величине денеж­ных выплат С. Представьте себе, к примеру, что некий богатей желает облагодетель­ствовать деньгами кафедру финансов в школе бизнеса и намерен внести первоначаль­ный взнос в конце года 1. Если процентная ставка равна 10% и если меценат намерен обеспечивать кафедре по 100 тыс. дол. ежегодно на бессрочную перспективу, сегодня ему нужно отложить для этой цели вот какую сумму5:

_ С _ $100000 _

^бессрочная рента г ~ 010 ~~ ' 000 000 ДОЛ.

4 Мы берем здесь за предпосылку отсутствие неопределенности, то есть надежность денежного потока. Если же прогнозируемый денежный поток подвержен риску, затраты на капитал могут оказаться выше — скажем, 12%. Чистая приведенная стоимость при ставке дисконтирования 12% сводится почти к нулю.

5 Вы можете проверить это с помощью основной формулы приведенной стоимости:

с, г. с,

РУ= —— +

1 + г (1 +г)[18] (1 + г)[19]Пусть С/( 1 + г) = а и 1/(1 + г) =х, тогда:

РУ=а(\ + х + х2 + ...). (1)

Умножив обе части уравнения на х, получаем:

РУх=а(х + х2+...). (2)

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1) и получаем: РУ(\ —х) = а. Далее подставляем выражения для а их

1 + г

1

РУ\ 1

1 + г

Наконец, после умножения обеих частей на (1 + г) и соответствующего преобразования получаем:

Как оценить Предположим, наш филантроп неожиданно вспомнил, что не принял во внимание растущую рост заработной платы, который, вероятно, составит в среднем 4% в год. Следователь- бессрочную но, вместо 100 тыс. дол. ежегодно и до бесконечности филантроп должен обеспечить ренту кафедре 100тыс.дол. в год 1, 1,04 х 100 000дол. в год2 и т.д. Обозначив темпы роста

зарплаты через мы можем записать формулу приведенной стоимости множественных денежных потоков следующим образом:


+
1+ Г (1 + г)1 (1 + /*)

1 + г
(1 + гУ

С, Q(l + g) Ci(l + g)J . + ... = - + т~ + —: î— +

(1 + гУ


К счастью, существует простая формула для суммирования элементов этой геометри­ческой прогрессии[20]. При условии, что г больше g, наши громоздкие вычисления упро­щаются до:


PV

1 г г

r-g

растущая бессрочная рента "


Стало быть, если наш филантроп желает ежегодно в течение неограниченного времени предоставлять кафедре денежное пособие, растущее вместе с заработной платой со­трудников, то сегодня он должен отложить вот какую сумму:


і _
= 1 666 667 дол.

ру=

$100000 r-g 0,10-0,04


Как оценить Аннуитет представляет собой актив, который приносит фиксированный доход ежегод- аннуитет но в течение конечного ряда лет. Закладная на дом с равномерными годовыми выпла­

тами или потребительский кредит, выплачиваемый равными долями в течение огово­ренного срока, — это общеизвестные примеры аннуитета.

Рисунок 3.1 иллюстрирует простой способ оценки аннуитета. В верхнем ряду пред­ставлена бессрочная рента, которая ежегодно приносит денежный поток С начиная с года 1. Ее приведенная стоимость равна:

С

РГ= — . г

В следующем ряду представлен второй вид бессрочной ренты, которая ежегодно при­носит денежный поток С начиная с года t + 1. Ее приведенная стоимость в год t будет равна С/г, и, стало быть, ее приведенная стоимость сегодня:

г( 1 + г)'

Обе бессрочные ренты обеспечивают денежный поток с года / +1 и в дальнейшем.

Единственное различие между ними состоит в том, что первая к тому же создает еже­годный денежный поток с года 1 по год t. Иначе говоря, разница между двумя бессроч­ными рентами представляет собой аннуитет, создающий денежный поток С на / лет. Приведенная стоимость этого аннуитета, следовательно, равна разности стоимостей двух бессрочных рент.


PV = С

1

Г( 1 + Г)'

1 ' аннуитет

Яисунок 3.1

^«иуитет, создающий регулярные гуштежи в течение ряда лет с года 1 Ногод Г, равен разности между дву­мя бессрочными рентами

Актив Год выплат

1 2 ... t t + 1 ...

PV
Бессрочная рента (первый платеж в году 1) С г
Бессрочная рента (первый платеж в годуt+ 1) С 1

— х----

г (1 + r)f

Аннуитет за период с года 1 по год f С С 1

----- х------

г г (1 + r)f


Выражение в квадратных скобках — это коэффициент аннуитета, который представляет собой приведенную стоимость аннуитета, по которому выплачивается 1 доллар в конце каждого года в течение 1 лет, при ставке дисконтирования г7.

Предположим, нашего благотворителя внезапно посетило сомнение и теперь он желает знать, во что ему обойдется ежегодная выплата кафедре по 100 тыс. дол. в тече­ние только 20 лет. По нашей формуле получаем следующий ответ:


1
1

РК=$100 000х
20

0,10 0,10(1,10)

= $100 000 х 8,514 = 851 400 дол.


Или же мы можем просто заглянуть в таблицу аннуитетов из Приложения в конце книги (табл. ПАЗ). В ней содержатся значения приведенной стоимости доллара, кото­рый должен быть получен в любом году из t лет. В нашем примере t — 20, а процентная ставка г = 0,10, и поэтому мы ищем двадцатое по счету число в столбце под шап­кой «10%». Оно равно 8,514. Умножаем 8,514 на 100 тыс. дол. и получаем ответ 851 400 дол.

Помните, что в формулу аннуитета заложена предпосылка, согласно которой пер­вый платеж поступает через год от начала периода. Если первый платеж поступает немедленно, величину денежного потока нужно дисконтировать к предыдущему году. Стало быть, приведенная стоимость возрастет в (1 + г) раз. Скажем, если наш благо­творитель намерен сразу же внести первую ежегодную сумму из 20-летней серии пла­тежей, общая стоимость составит 851 400 дол. х 1,10= 936 540 дол. Аннуитет с немед­ленным первым платежом называется аннуитетом к выплате.

Вам всегда следует предельно внимательно отслеживать те случаи, когда вы могли бы прибегнуть к этим формулам, чтобы облегчить себе жизнь. Например, иногда тре-

7 Мы снова можем вывести это по тому же принципу. Нужно вычислить сумму элементов бесконечной геометрической прогрессии:

РУ= а(\ + х+X2 + ... + (1)

где а = С/( 1 + г) и х = 1/(1 + г). Умножаем обе части на х:

Р¥х = а(х + х2 +... +х>). (2)

Вычтя уравнение (2) из уравнения (1), получаем: РУ(\ —х) =а( 1 — х1). Далее подставляем выражения для а их:

1

1 1

= с

1+ Г (1 + г)'

Умножаем обе части на (1 + г) и после преобразования получаем:

1

PV= С

г г(1 + г)'

буется подсчитать сумму годовых платежей с фиксированным годовым процентом, ко­торая накопится к концу периода и В этом случае проще всего — вычислить приведен­ную стоимость и затем, умножив ее на (1 + г)1, найти будущую стоимость ^К)8. Пред­положим, наш меценат желает знать, какое богатство могут принести 100 тыс. дол., если каждый год инвестировать их, вместо того чтобы отдавать недостойным ученым. Вот каким будет ответ:

Будущая стоимость (/У) = РУ* (1,Ю)20 =$851400 x 6,727= 5,73 млн дол.

Как мы узнали, что (1,10)20 равно 6,727? Легко: просто заглянули в таблицу ПА2 «Буду­щая стоимость 1 доллара через Глет», которая содержится в Приложении в конце книги.

<< | >>
Источник: Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов / Пер. с англ. Н. Барышниковой. — М.: ЗАО «Олимп—Бизнес», — 1008 с.. 2008

Еще по теме 3.2. ЗНАКОМСТВО С БЕССРОЧНОЙ РЕНТОЙ И АННУИТЕТОМ:

  1. АННУИТЕТ БЕССРОЧНЫЙ
  2. АННУИТЕТ БЕССРОЧНЫЙ
  3. КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗНАКОМСТВО С НОВОЙ МОДЕЛЬЮ
  4. ОБЛИГАЦИЯ БЕССРОЧНАЯ
  5. ОБЛИГАЦИЯ БЕССРОЧНАЯ
  6. 4.6. АННУИТЕТЫ
  7. АННУИТЕТ
  8. 10.5.5 Текущая стоимость аннуитета
  9. АННУИТЕТ ОТЛОЖЕННЫЙ
  10. 8.2 Прямой пожизненый аннуитет
  11. МНОЖИТЕЛЬ МУЛЬТИПЛИЦИРУЮЩИЙ ДЛЯ АННУИТЕТА
  12. МНОЖИТЕЛЬ ДИСКОНТИРУЮЩИЙ ДЛЯ АННУИТЕТА
  13. МНОЖИТЕЛЬ ДИСКОНТИРУЮЩИЙ ДЛЯ АННУИТЕТА
  14. МНОЖИТЕЛЬ МУЛЬТИПЛИЦИРУЮЩИЙ ДЛЯ АННУИТЕТА
  15. 4.6.2. Приведенная стоимость аннуитета
  16. АННУИТЕТ СРОЧНЫЙ
  17. АННУИТЕТ СРОЧНЫЙ
  18. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ АННУИТЕТА ПОСТНУМЕРАНДО
  19. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ АННУИТЕТА ПОСТ- НУМЕРАНДО
  20. АННУИТЕТ, или ФИНАНСОВАЯ РЕНТА