3.3. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ И ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ

Существует громадная разница между простым процентом и сложным процентом. Когда деньги вкладываются под сложный процент (или, иначе говоря, с начислением слож­ного процента), процентные платежи реинвестируются, что приносит еще больший процентный доход в последующие периоды.
В отличие от этой схемы инвестиции, на которые начисляется только простой процент, не дают возможности получать процент на процент.

В таблице 3.2 сравниваются приросты инвестиций в размере 100 дол. при начислении сложного и простого процента. Отметим, что в последнем случае процент выплачивает­ся только с первоначальной суммы инвестиций 100 дол. Следовательно, ваше благососто­яние увеличивается только на 10 дол. в год. При начислении сложного процента вы тоже получаете в первый год 10% от ваших первоначальных инвестиций и к концу первого года имеете 100 дол. х 1,10 = 110дол. Но затем на второй год вы получаете 10% уже от этих 110дол., которые в конце второго года превращаются в 100 дол. х (1,10)2 = = 121 дол.

Из таблицы 3.2 видно, что разница между простым и сложным процентом равна нулю для инвестиционного периода в один год, незначительна для двух лет, но ошелом­ляюще велика для периодов продолжительностью 20 и более лет. Сотня долларов, инвес­тированная во времена Американской революции, при начислении на нее сложного процента по ставке 10% годовых сегодня насчитывала бы свыше 226 млрд дол. Что бы нашим предкам не отложить хоть несколько центов на какой-никакой процентный счет?

Две верхние кривые на рисунке 3.2 наглядно иллюстрируют разницу в результатах инвестирования 100 дол. под 10% годовых с начислением простого и сложного процен­тов. На первый взгляд кажется, что темпы роста при простом проценте остаются по­стоянными, а при сложном проценте ускоряются. Однако это — обман зрения. Мы знаем, что при начислении сложного процента наше богатство растет постоянными темпами 10% в год. В этом смысле рисунок 3.3 вернее отображает истинное положение вещей. Здесь при построении графика на вертикальной оси отложена логарифмическая шкала и темпы роста на основе сложного процента выражены прямой линией.

Финансовые проблемы возникают главным образом в связи с начислением слож­ного, нежели простого процента, и поэтому специалисты по финансам всегда счита­ют, что вы имеете в виду сложный процент, если иное не оговорено специально. Дис­контирование — это как раз использование сложного процента. Некоторые люди инту­итивно предпочитают заменить вопрос «Какова приведенная стоимость 100 дол.,

8 Предположим, к примеру, что в году 6 вам поступит денежный поток С. Если вы инвестируете эти деньга по процентной ставке г, к году 10 ваши инвестиции будут стоить С(1 + г)4. Вы получите тот же ответ, если вычислите приведенную стоимость денежного потока РУ= С/(1 + г)6 и затем определите, сколько вы имели бы к году 10, инвестировав эту сумму сегодня:

г

РУ= РУ( 1 + г)10 --------- г X (1 + г)10 = С(1 + г)4.

(1 + г)6

Таблица 3.2

Стоимость инвестиций в размере 100 дол. при начислении простого и сложного процента по ставке 10% годовых

ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
Год Исходное + Процентные = Итоговое Исходное + Процентные = Итоговое
сальдо платежи сальдо сальдо платежи сальдо
1 100 + 10 = 110 100 + 10 = 110
2 110 + 10 = 120 110 + 11 = 121
3 120 + 10 = 130 121 + 12,1 = 133,1
4 130 + 10 = 140 133,1 + 13,3 = 146,4
10 190 + 10 = 200 236 + 24 = 259
20 290 + 10 = 300 612 + 61 = 673
50 590 + 10 = 600 10 672 + 1 067 = 11 739
100 1090 + 10 = 1100 1 252 783 + 125 278 = 1 378 061
200 2090 + 10 = 2100 17 264 116 042 + 1 726 411 604 = 18 990 527 646
226 2350 + 10 = 2360 205 756 782755 + 20 575 678 275 = 226 332 461 030

Рисунок 3.2

Доллары

Сложный процент в сравнении с простым процентом. Две верхние восходящие кри­вые показывают прирост стоимости 100 дол., инвестированных под простой и сложный процент. Чем длительнее срок, на который вложены средства, тем оче­виднее преимущества сложного процен­та. Нижняя кривая иллюстрирует тот факт, что для получения 100 дол. через 10 лет Сейчас нужно инвестировать 38,55 дол. Или, иначе говоря, приведенная сто­имость 100дол., которые будут получены через 10 лет, равна 38,55 дол.


Рисунок 3.3

Доллары

(логарифмическая шкала) 400

50 38,55

Та же ситуация, что и на рисунке 3.2, за одним исключением: на вертикальной оси отложена логарифмическая шкала. Посто­янные темпы роста на основе сложного процента приобретают вид восходящей прямой. Этот график наглядно показыва- 6т, что рост стоимости инвестиций, на ко­торые начисляется простой процент, со временем фактически замедляется


Годы

в будущем

которые будут получены через 10 лет, если альтернативные издержки привлечения ка­питала равны 10%?» вопросом «Сколько мне нужно инвестировать сегодня, чтобы по­лучить 100 дол. через 10 лет при процентной ставке 10%?». Ответ на первый вопрос:

$100

Р = 38,55 ДОЛ"

А ответ на второй вопрос:

Инвестиции х (1,Ю)[21] = 100 дол.; 100

Инвестиции = 10 = 38,55 дол.

Об интервалах начисления сложного процента

Нижние линии на рисунках 3.2 и 3.3 показывают рост первоначальных инвестиций в размере 38,55 дол. до их конечной стоимости 100 дол. Дисконтирование можно предста­вить как движение назад вдоль нижней линии от будущей стоимости до стоимости, приведенной к сегодняшнему дню.

До сих пор мы подразумевали, что все денежные потоки приходятся на конец года.

Иногда такое случается. Например, во Франции и Германии большинство корпораций выплачивает проценты по своим облигациям раз в год. Однако в США и Великобрита­нии процентные платежи, как правило, производятся раз в полгода. В этих странах инвесторы могут получать дополнительный шестимесячный процент на первый про­центный платеж, так что 100 дол. инвестиций в облигации, по которым выплачиваются 10% годовых с полугодовым начислением, вырастут до 105 дол. через шесть месяцев, а к концу года — до (1,05)2 х 100 дол. = 110,25 дол. Иначе говоря, 10% с начислением раз в полгода равнозначны 10,25% с начислением раз в год.

Давайте разберем следующий пример. Банк выдает кредиты на покупку автомоби­лей, требующие ежемесячных платежей по процентной ставке в годовом исчислении 6% в год. Что все это значит и какова действительная ставка процента по таким кредитам?

При ежемесячных платежах банк каждый месяц взимает одну двенадцатую годовой процентной ставки, то есть 6/12 = 0,5%. Поскольку на эти помесячные платежи начис­ляется сложный процент, банк фактически зарабатывает больше 6% в год. Допустим, изначально банк выдал автомобильных кредитов на 10 млн дол. Через месяц эти инве­стиции вырастут до 10 млн дол. х 1,005 = 10,05 млн дол., через два месяца— до 10 млн дол. х (1,005)2 = 10,10025 млн дол., а через 12 месяцев — до 10 млн дол. х х (1,005)12= 10,61678 млн дол.9 Стало быть, объявив процентную ставку в годовом ис­числении 6%, банк фактически зарабатывает 6,1678%, если платежи производятся по­месячно10.

В общем случае: 1 доллар инвестиций с годовой ставкой г, начисляемой т раз за год, вырастает к концу года до (1+ г/т)т дол., и эквивалентная годовая ставка слож­ного процента (т. е. ставка процента с годовым сложным начислением) составляет (1 + г/т)т — 1.

Непрерывно начисляемый сложный процент. Привлекательность для инвесторов более частых выплат не ускользнула от внимания ссудосберегательных компаний, популяр­ных в 1960—1970-е годы. Процентная ставка по размещенным у них депозитам тради­ционно объявлялась как годовая ставка сложного процента. В те времена правительство
ограничивало верхний предел годовой процентной ставки, но не оговаривало интер­вал начисления процента. Когда потолок процентной ставки начал снижаться, ссудо- сберегательные компании в массовом порядке перешли сначала к полугодовому, а затем и помесячному начислению процента. Это эквивалентно росту годовой ставки сложного процента в первом случае до (1 + г/2)2 — 1, а во втором — до (1 +г/12)12— 1.

В конце концов одна компания объявила о непрерывно начисляемом сложном про­центе, который подразумевает равномерные и непрерывные выплаты на протяжении года. Применительно к нашей формуле это означает, что значение т стремится к бес­конечности[22]. Может показаться, что после этого ссудосберегательные компании дол­жны были погрязнуть в несметном ворохе вычислений. К счастью, кто-то еще помнил курс алгебры средней школы и заметил, что если т стремится к бесконечности, то значение (1 + г/т)т приблизительно равно (2,718)''. Число 2,718, или, как его обозна­чают, е — это основание натурального логарифма.

Итак, 1 доллар, инвестируемый по ставке г непрерывно начисляемого сложного процента, вырастает к концу первого года до ег = (2,718)'" дол., а к концу Г лет— до е* — (2,718)л дол. В таблице ПА4 Приложения в конце книги представлены значения^. Давайте поупражняемся в использовании этой таблицы.

Пример 1. Предположим, вы инвестируете 1 дол. на один год (ґ = 1) под 11% с непрерыв­ным сложным начислением (г = 0,11). Стоимость такой инвестиции на конец года равна

11, что, как видно из второй строки таблицы ПА4, составляет 1,116 дол. Иначе говоря, инвестирование под 11% в год с непрерывным начислением сложного процента равно­значно инвестированию под 11,6% в год с годовым начислением сложного процента.

Пример 2. Теперь допустим, что вы инвестируете 1 дол. под те же 11% с непрерывным сложным начислением (г =0,11), но уже на два года (г = 2). Тогда конечная стоимость инвестиций — е* = е0'22. Из третьей строки таблицы ПА4 видно, что значение е°>22 рав­но 1,246 дол.

Принцип непрерывного начисления сложного процента особенно важен в бюджет­ном планировании капиталовложений, когда более обоснованно считать, что денеж­ный поток распределяется равномерно на весь год, а не выпадает лишь на конец года. Для этой цели вполне подходят наши предыдущие формулы, если их слегка преобра­зовать. К примеру, нам надо вычислить приведенную стоимость бессрочной ренты в размере С дол. в год. Мы уже знаем, что если платеж приходится на конец года, мы делим его величину наг, ставку процента с годовым сложным начислением:

Если те же выплаты производятся равномерно в течение года, мы используем ту же формулу, но подставляем в нее ставку непрерывно начисляемого сложного процента.

ПримерЗ. Допустим, ставка Процента с годовым сложным начислением составляет 18,5%. Приведенная стоимость бессрочной ренты в размере 100 дол. в год, каждый де­нежный поток которой приходится на конец года, равна 100 дол./0,185 = 540,54 дол. Если же денежный поток поступает непрерывно, 100дол. нужно разделить на 17%, поскольку ставка 17% с непрерывным начислением сложного процента эквивалентна ставке 18,5% с годовым начислением (е°>17= 1,185). Стало быть, приведенная стоимость непрерывного денежного потока равна 100 дол./0,17 = 588,24 дол.

К любым другим непрерывным выплатам мы всегда можем применить формулу оценки аннуитета. Скажем, наш благотворитель обдумал все более серьезно и, отверг­нув прежние планы, решил построить дом для престарелых ослов, который обойдется в 100 тыс. дол. в год, причем выплаты надо начать немедленно и осуществлять равно­мерно в течение 20 лет. Раньше мы использовали ставку 10% с годовым сложным на­числением; теперь мы должны взять ставку с непрерывным начислением г = 9,53% (е0,0953 = 1 10). Чтобы покрыть эти расходы, наш меценат должен иметь в наличии та­

кую сумму12:


PV= С| — - — х —pf

г г еп J

= $100 000 х

1 1 -ж. 1

0,0953 0,0953 6,727 = $100 000 х 8,932 = 893 200 дол.


Эти вычисления можно намного облегчить и сократить, используя данные таблицы ПА5 Приложения в конце книги. Из нее мы видим, что если доходность с годовым сложным начислением составляет 10%, то денежный поток в размере 1 дол. в год, длящийся 20 лет, стоит 8,932 дол.

Если вы вернетесь к нашему предыдущему обсуждению аннуитета, то заметите, что приведенная стоимость 100 тыс. дол., выплачиваемых в конце каждого года в течение 20 лет, равна 851 400 дол. Следовательно, обеспечение постоянного потока платежей обойдется нашему меценату дороже на 41 800 дол., или на 5%.

Часто при решении финансовых вопросов нам нужно знать только приблизительное значение приведенной стоимости. Погрешность в 5% при оценке приведенной стоимо­сти вполне допустима. В таких случаях обычно не имеет значения, идет ли денежный поток постоянно или же возникает в конце года. Однако в других ситуациях строгость расчетов важна, и тогда нам действительно необходимо точно знать частоту возникно­вения денежных потоков.

<< | >>
Источник: Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов / Пер. с англ. Н. Барышниковой. — М.: ЗАО «Олимп—Бизнес», — 1008 с.. 2008

Еще по теме 3.3. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ И ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ:

  1. Сложный процент
  2. 1.3.2. Сложные проценты
  3. 4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
  4. Наращение сложных процентов
  5. 7.2. Понятие простого и сложного процента
  6. 10.2. Шесть функций сложного процента
  7. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  8. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  9. Сравнение силы роста простых и сложных процентов
  10. приведенная стоимость
  11. 53. Чистая приведенная стоимость
  12. 4.6.2. Приведенная стоимость аннуитета
  13. Приведенная (дисконтированная) стоимость
  14. 4.3. ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ
  15. 4.5.3. Приведенная стоимость нескольких денежных потоков
  16. Инфляция и приведенная стоимость
  17. Чистая приведенная стоимость