21.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

Почему метод Долгие годы экономисты кропотливо искали практичную формулу для стоимостной дисконтирован- оценки опционов, пока Фишер Блэк и Мирон Шольц не вывели ее. Позже мы позна- ного денежного комим вас с их открытием, но прежде нужно объяснить, почему поиск формулы был потока сопряжен с тагами трудностями.

не годится Наша стандартная процедура стоимостной оценки активов сводится к двум дей-

дляопционов ствиям: ( прогнозирование ожидаемых денежных потоков и (2)дисконтирование их по альтернативным издержкам привлечения капитала. К сожалению, этот способ не годится для оценки опционов. Первая часть сложна, но выполнима. А вот определить конкретное значение альтернативных издержек попросту невозможно, поскольку риск опциона меняется при каждом колебании цены акций[357] и мы знаем, что цена будет колебаться случайным образом на протяжении всей жизни опциона.

Когда вы покупаете опцион «колл», вы открываете позицию с акцией (или, проще говоря, приобретаете акцию), но тратите своих денег меньше, чем если бы покупали акцию непосредственно. При этом опцион всегда сопряжен с большим риском, чем лежащие в его основе акции. Он имеет более высокую бету и более высокое среднее квадратическое отклонение доходности.

Насколько выше риск опциона, зависит от отношения цены акции к цене исполне­ния. Опцион «в деньгах» (когда цена акции выше цены исполнения) надежнее, чем опцион «вне денег» (цена акции меньше цены исполнения). Таким образом, рост цены акций увеличивает цену опциона и сокращает присущий ему риск. Если же цена акций снижается, цена опциона тоже снижается, а присущий ему риск возрастает. Поэтому требуемая инвесторами ожидаемая доходность опциона изменяется ежедневно и даже ежечасно, всякий раз, когда меняется цена акций.

Как создать эквивалент опциона из обыкновенных акций и займов

Повторим общее правило: чем выше цена акции относительно цены исполнения, тем надежнее опцион, хотя опционы всегда отличаются более высоким риском по сравнению с акциями. Риск опциона меняется с каждым колебанием цены акций.

Теперь сравним эту отдачу с тем, что вы получили бы, купив 0,5714 акции AOL и заняв в банке 23,11 дол.[358]:

Цена акции = 41,25 дол. Цена акции = 73,33 дол.

0,5714 акции 23,57 дол. 41,90 дол.

Возврат долга + проценты -23.57 дол. -23.57 дол.

Итого отдана 0 дол. 18,33 дол.

Заметьте, что отдача таких инвестиций в акции, совмещенных с финансовым рычагом (займом), идентична отдаче нашего опциона «колл». Стало быть, оба вида инвестиций должны иметь одинаковую стоимость:

Стоимость «колю» = стоимость 0,5714 акции — 23,11 дол. банковского займа = = $55 х 0,5714 - $23,11 = 8,32 дол.

Алле-гоп! Вот мы и нашли стоимость опциона «колл».

Для того чтобы определить стоимость опциона AOL, мы взяли денежный заем и купили некоторое количество акций, в точности воспроизведя отдачу опциона «колл». Подобная комбинация именуется дублирующим портфелем. Число акций, необходимое для дублирования одного «колла», часто называют коэффициентом хеджирования, или дельтой опциона. В нашем примере один «колл» дублируется приобретением 0,5714 ак­ции AOL в сочетании с финансовым рычагом. Отсюда дельта опциона равна 0,5714.

Как мы определили, что наш «колл» эквивалентен приобретению 0,5714 акции AOL с использованием финансового рычага? Из простой формулы:

разброс возможных цен опциона $18,33-0

Дельта опциона = --- з------------------------- = д.— —д... = 0,5714.

разброс возможных цен акции $73,33 - $41,25

Вы сейчас узнали не только о том, как оценивать стоимость простого опциона. Вы также узнали, что можете воспроизвести инвестиции в опцион инвестициями с долго­вой нагрузкой в активы, составляющие основу опциона. Таким образом, если у вас нет возможности купить или продать опцион на актив, вы способны сами создать этот оп­цион посредством дублирующей стратегии, которая сводится к покупке или продаже дельта-числа акций и заимствованию или предоставлению займа на остальную сумму.

Метод нейтрального отношения к риску. Поясним, почему опцион «колл» на акции AOL должен продаваться именно за 8,32 дол. Если бы цена опциона превышала 8,32 дол., вы вполне могли бы заработать некоторую прибыль, купив 0,5714 акции, продав «колл» и заняв 23,11 дол. А если бы опцион стоил дешевле 8,32 дол., вы могли бы извлечь такую же прибыль, продав 0,5714 акции, купив «колл» и ссудив остальную сумму. В обоих случаях на вас работал бы денежный станок[359].

Если существует денежный станок, всякий захочет воспользоваться его преимуще­ствами. Поэтому, когда мы говорим, что опцион должен стоить 8,32 дол. (иначе запус­кается денежный станок), нам не важно, как инвесторы относятся к риску. Цена опци­она не может зависеть от отношения инвесторов к риску, каким бы оно ни было — резко отрицательным или безразличным.

Этот вывод подсказывает альтернативный способ оценки опционов. Мы можем пред­ставить себе, будто все инвесторы равнодушны к риску, определить ожидаемую сто­имость опциона в этом воображаемом мире и затем привести ее обратно к реальным условиям, продисконтировав по безрисковой процентной ставке, чтобы получить те­кущую стоимость.

Давайте удостоверимся в том, что и этот метод дает тот же результат.

Если инвесторы безразличны к риску, ожидаемая доходность акций должна быть равна безрисковой процентной ставке: ожидаемая доходность акций AOL = 2% на шесть месяцев.

Мы знаем, что цена акций AOL может либо вырасти на 33% до 73,33 дол., либо снизиться на 25% до 41,25 дол. Стало быть, мы в состоянии вычислить вероятность роста цены в нашем гипотетическом мире с нейтральным отношением к риску:

Ожидаемая доходность = 2% = = вероятность роста х 33% + (1 — вероятность роста) х (—25%).

Отсюда[360]:

Вероятность роста = 0,463, или 46,3%.

Заметьте: это не есть истинная вероятность того, что акции AOL вырастут в цене. Коль скоро в действительности инвесторы не любят риска, они почти наверняка потребуют от акций AOL доходность выше безрисковой процентной ставки. Следовательно, ис­тинная вероятность больше 0,463.

Как мы знаем, если цена акций возрастет, «колл» будет стоить 18,33 дол.; если цена снизится, «колл» не будет стоить ничего. Поэтому при нейтральном отношении инвес­торов к риску ожидаемая будущая стоимость «колла» равна:

Вероятность роста х $18,33 + (1 — вероятность роста) х 0 = = 0,463 х $18,33 + 0,537 х о = 8,49 дол.

И текущая стоимость «колла»:

Ожидаемая будущая стоимость $8,49

------ ГТ----------------------------------- = 1 m = 8,32 дол.

1 + процентная ставка 1,02

Ровно такой же результат, какой мы получили раньше!

Теперь нам известны два способа исчисления стоимости опциона.

1. Найти комбинацию акций и займа, которая воспроизводит инвестиции в опцион. Коль скоро две стратегии дают одинаковый результат в будущем, сегодня они долж­ны иметь одну и ту же цену.

2. Взять за предпосылку, что инвесторы безразличны к риску и, значит, ожидаемая доходность акций равна процентной ставке. Вычислить ожидаемую будущую стоимость опциона в гипотетическом мире с нейтральным отношением к риску и дисконтиро­вать ее по безрисковой процентной ставке[361].

же способом оценим стоимость шестимесячного «пута» на акции AOL с ценой испол­нения 55 дол.[362] По-прежнему будем исходить из того, что цена акций либо вырастет до 73,33 дол., либо снизится до 41,25 дол.

Если акции AOL дорожают до 73,33 дол., опцион на продажу этих акций за 55 дол. обесценивается. Если же акции дешевеют до 41,25 дол., опцион «пут» стоит 13,75 дол. (= 55 дол. — 41,25 дол.). Стало быть, отдача опциона такова:

Цена акции = 41,25 дол. Цена акции =73,33 дол.

Один опцион «пут» 13,75 дол. О дол.

Для начала вычислим дельту опциона по формуле, которую представили выше[363]:

разброс возможных цен опциона 0 —$13,75

Дельта опциона = ---- ^------------------------ = ^Тїї—елі ос = "0,4286.

разброс возможных цен акции $73,33 - $41,25

Нужно отметить, что дельта опционов «пут» всегда имеет отрицательное значение; то есть для дублирования «пута» вы должны продать дельта-число акций. В нашем случае с «путом» AOL вы можете воспроизвести отдачу опциона, продав 0,4286 акции AOL и предоставив заем на 30,81 дол. Поскольку вы осуществляете короткую продажу акций, вам нужно отложить достаточно денег, чтобы по истечении шести месяцев выкупить акции обратно, но тут как раз нет проблемы: благодаря предоставленному займу день­ги у вас будут. Ваша чистая отдача оказывается точно такой же, какую вы получили бы, купив опцион «пут»:

Цена акции = 41,25 дол. Цена акции = 73,33 дол.

Продажа 0,4286 акции -17,68 дол. -31,43 дол.

Возврат долга + проценты +31.43 дол. +31.43 дол.

Итого отдача 13,75 дол. 0 дол.

Коль скоро два вида инвестиций приносят одинаковую отдачу, они должны иметь и одинаковую стоимость:

Стоимость «пута»= —0,4286 акции + 30,81 дол. займа = = -0,4286 х $55 + $30,81 = 7,24 дол.

Оценка опциона «пут» методом нейтрального отношения к риску. Это легко и просто. Как мы уже знаем, вероятность роста акций AOL равна 0,463. Отсюда ожидаемая сто­имость «пута» в условиях нейтрального отношения к риску:

Вероятность роста х 0 + (1 — вероятность роста) * $13,75 = = 0,463 х о + 0,537 х $13,75 = 7,38 дол.

Следовательно, текущая стоимость «пута»:

Ожидаемая будущая стоимость $7,38

------ TZ----------------------------------- = Т7РГ = 7'24 ДОл-

1 + процентная ставка 1,02

Соотношение цен «колла» и «пута». Мы уже говорили, что применительно к европей­ским опционам действует простое соотношение между «коллом» и «путом»[364]:

Стоимость «пута» = = стоимость «колла» — цена акции + приведенная стоимость цены исполнения.

Стоимость «колла» AOL у нас уже есть, так что мы можем воспользоваться этим соот­ношением, чтобы вывести стоимость «пута»:

$55

Стоимость «пута» = $8,32 — $55 + YO2 = ^>24 дол.

Все сходится!

<< | >>
Источник: Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов / Пер. с англ. Н. Барышниковой. — М.: ЗАО «Олимп—Бизнес», — 1008 с.. 2008

Еще по теме 21.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ:

  1. 15.5. ДВУХСТУПЕНЧАТАЯ (БИНОМИАЛЬНАЯ) МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
  2. 15.11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СФЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
  3. 17.3.2. Применение формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реальных опционов
  4. 13.5.1. Модели оценки стоимости активов на основе дисконтирования денежных потоков
  5. 15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА
  6. 19.2. Анализ и оценка реальных опционов, связанных с инвестициями в развитие бизнеса
  7. Оценка опционов, связанных с созданием новых товаров
  8. 19.3. Интегрированная модель дисконтированных денежных потоков и опционов
  9. 1.1. Простейшие модели
  10. 9.3. Простейшие методы оценки инвестиций
  11. 3.1. Простейшая модель оптимального раскроя материала
  12. Простейшая биномиальная модель