4.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица

В 1952 году американский экономист Г. Марковиц опуб­ликовал статью «Portfolio Selection», которая легла в основу теории инвестиционного портфеля[1]. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается

как однопериодовый процесс, т.е.

полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг.

Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформи­руется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появле­ние новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц пола­гал, что значения доходности ценных бумаг являются случай­ными величинами, распределенными по нормальному (гаус- совскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инве­стор, формируя свой портфель, оценивает лишь два показате­ля Е(г) - ожидаемую доходность и о- стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плот­ность вероятности случайных чисел при нормальном распре­делении). Следовательно, инвестор должен оценить доход­ность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность г при допустимом значении риска о. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соот­ношения «доходность-риск».

Эффективные портфели. Цель любого инвестора - со­ставить такой портфель ценных бумаг, который давал бы мак­симально возможную отдачу с минимально допустимым рис­ком. Раскроем, прежде всего, взаимосвязь эффекта корреля­ции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различ­ных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во- первых, при одних и тех же значениях рг 2 разным портфелям соответствуют разные величины о, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск

портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно, портфель не состоит из одной цен­ной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, ..., п), имеющих любые попарные коэффициенты доходно- стей в пределах от (-1) до (+1), и создавать из них портфели, варьируя «вес» каждой ценной бумаги, то какому-то конкрет­ному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности Е(га) и риска (стандарт­ное отклонение ста). Перенеся эти соотношения на коорди­натную плоскость с осями Е(Г) и а, получим точку А с коорди­натами [Е(га); са] (рис. 4.1).

Для другого набора этих же ценных бумаг с опреде­ленным «весом» каждой бумаги получим другое соотноше­ние ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 4.1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варь­ирования их «веса» можно получить бесконечное количест­во портфелей1. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отло­жить их на графике (рис. 4.1), то получим совокупность то­чек - зону Б, определяющую все возможные портфели для выбранного количества п ценных бумаг.

Е(Ут)

Е(У.)



бп

бА

Рис. 4.1. Зона возможных существований портфелей

Ключ к решению проблемы выбора оптимального порт­феля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности.

Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инве­стор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

б

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал п ценных бумаг со своими характеристиками [Е(П); и; 01р, где I,] = 1,2,...,п], то най­дется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, ми­нимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 4.1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности ни определил инвестор (например,

Е(гт) на рис. 4.1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис. 4.1 - точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует границу эффективности - на рис. 4.1 это линия Я. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх- вправо величины Е(Г) и о увеличиваются, а при движении вниз-влево - уменьшаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величи­не Е(г) или максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг: чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (-1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - изменения количества входя­щих в портфель ценных бумаг и их весов - инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируе­мым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит назва­ние недиверсифицируемого, или систематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эф­фективных портфелей. Если портфель состоит из более чем двух ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходно­сти существует бесконечное число портфелей, иными слова­ми, можно сформулировать бесконечное количество портфе­лей, имеющих одну и ту же доходность.

60

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи Е(гп) необходимо найти такой, который обеспечивал бы мини­мальный уровень риска. Таким образом, задачу инвестора можно свести к следующему: необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля

ч=^ ч+£ , (4.1)

1=1 1 }

при заданных начальных условиях:

Е(тпортфлЯ) = (Г), (4.2)

1=1

£щ = 1. (4.3)

1=1

Существуют три способа решения подобного рода задач: графический, математический и с использованием компью­терных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необ­ходимо учитывать, что при п > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше цен­ных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего п ценных бумаг, необходимо перво­начально вычислить:

а) п значений ожидаемой доходности Е(г), где I = 1, 2,..., п каждой ценной бумаги в портфеле;

б) п значений дисперсий 02{ каждой ценной бумаги;

в) п(п-1)/2 значений ковариации где I,] = 1, 2,., п.

Если подставить значения Е(гС и а^ в уравнения (4.1)- (4.3), то в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - «веса» каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфе­ля из п акций, по сути дела, сводится к следующему: для вы­бранной величины доходности Е* инвестор должен найти та­кие значения Wг, при которых риск инвестиционного порт­феля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранно­го значения Е* инвестор должен определить, какие суммы ин­вестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Иногда при решении задачи Г. Марковица вес той или иной акции может стать отрицательным. Например, пусть инве­стор располагает Б начальн. 1000 руб., формирует портфель из трех акций А, В, С, и при какой-то ожидаемой доходности портфеля веса акций равны: Ша = +0,5; ШЪ = +0,8; Ше = -0,3.

Теоретически отрицательный вес акции С означает, что данную акцию надо коротко продать на сумму, эквивалентную отрицательному весу (в нашем случае на 300 руб.), добавить по­лученные деньги к Бначальн. и купить оставшиеся акции портфеля. Суть короткой продажи состоит в следующем: пусть клиент Х брокерской фирмы дает поручение брокеру коротко продать 10 акций С по текущей рыночной цене 30 руб. на сумму 300 руб. Получив это поручение, брокер продает акции не клиента Х, другого клиента У (такие операции законодательно разрешены). По правилам короткой продажи инвестор Х должен вернуть долг не деньгами, а коротко проданными акциями. Короткий продавец Х играет на понижение: если за время короткой про­дажи цена упадет до 20 руб., то чтобы вернуть долг (акции С), необходимо потратить на их выкуп только 200 руб., и 100 руб. остаются выигрышем у инвестора А.

Нахождение оптимального портфеля. В теории Марко- вица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бу­маг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными


словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности ER и уровня риска а портфеля приносило бы ему максимальное удовлетво­рение потребностей и минимизировало риск при желаемой до­ходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E® и а поскольку отноше­ние одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отли­чаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный порт­фель непременно является эффективным, то есть инвесторы выби­рают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффек­тивных портфелей.

<< | >>
Источник: Максимова В.Ф.. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ МЕНЕДЖ­МЕНТ: Учебно-практическое пособие. - М.: Изд. центр ЕАОИ. - М., 2007. - 214 с.. 2007

Еще по теме 4.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица:

  1. Портфель Марковица минимального риска
  2. Портфель Марковица и Тобина максимальной эффективности
  3. 7.7 Приложение: модель Марковица и CAPM
  4. 2.4. Модели и методы оптимизации структуры управляющей компании
  5. Оптимизация портфеля из п разновидностей ценных бумаг
  6. Оптимизация портфеля из рискового и безрискового активов
  7. Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг
  8. 12.1. ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  9. 8.1. Цель и задачи управления инвестиционным портфелем
  10. 8.9. Формирование и оперативное управление инвестиционным портфелем
  11. Формирование наиболее предпочтительного инвестиционного портфеля
  12. 9.2. Типы портфелей ценных бумаг и инвестиционных стратегий