1.5. Потоки платежей и финансовые ренты

До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосроч­ной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только едино­временным платежом, но множеством распределённых во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределённых во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финан­совых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступле­ния), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоян­ны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

- член ренты (Я) - величина каждого отдельного платежа;

- период ренты (^ - временной интервал между членами ренты;

- срок ренты (п) - время от начала финансовой ренты до конца послед­него её периода;

- процентная ставка (/) - ставка, используемая при наращении плате­жей, из которых состоит рента.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют:

- годовую ренту, которая представляет собой ежегодные платежи, т. е. период ренты равен 1 году;

- срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.

По числу начислений процентов различают:

- ренты с начислением 1 раз в год;

- ренты с начислением т раз в год;

- непрерывное начисление.

По величине членов ренты могут быть:

- постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа посто­янна, т. е. рента с равными членами;

- переменные ренты, где величина платежа варьирует, т. е. рента с не­равными членами.

По числу членов ренты они бывают:

- с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число чле­нов ренты конечно и заранее известно;

- с бесконечным числом (вечные ренты), когда число её членов заранее не известно.

По вероятности выплаты ренты делятся на:

- верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т. е. не зави­сят не от каких условий, например, погашение кредита;

- условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случай­ного события.

По методу выплаты платежей выделяют:

- обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, - с вы­платой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

- ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются:

- наращённая сумма;

- современная величина потока платежей.

Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учётом временной неравноценно­сти денег.

Наращённая сумма - сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщённая сумма задол­женности, итоговый объём инвестиций и т. п.

г
я 1
1 _ , РУА
К к к
" Мнрсмя)

П

Рисунок 7 - Логика финансовой операции наращения финансовой ренты


Наращённые отдельные платежи представляют собой члены геометриче­ской прогрессии с первым членом равным Я и множителем равным (1 + I).

Рассмотрим определение наращённой суммы на примере наиболее про­стого случая, - годовой постоянной обычной ренты:

ГУА = Я х (1 +1" -1 = Я х ^, (1.39)

где ГУА - наращённая сумма ренты;

Я - размер члена ренты, т. е. размер очередного платежа;

I - годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются слож­ные проценты;

п - срок ренты в годах,

Бп;1 - коэффициент наращения ренты.

Пример. На счёт в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владель­цу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; про­центы начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, пост- нумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т. е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выпла­ты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

500х(1 + 0,3)5 -1 г ГУА = - — = 4 521,55 руб.

0,3

Можно определить наращённую сумму постоянной ренты, воспользо­вавшись финансовыми таблицами (Прил. Г), содержащими коэффициенты наращения ренты:

ГУА = Я х ; зо = 500 х 9,0431 = 4 521,55 руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

Р = п X Я = 5 X 500 = 2 500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна: I = ГУА - Р = 4521,55 - 2500 = 2 021,55 руб.

Таким образом, доход владельца счёта за 5 лет составит 2 021,55 руб.

Для овладения методами финансовых вычислений важно не столько за­поминание формул, сколько общих принципов расчёта.

Для определения наращённой суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу.

Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера:

Таблица 1 - Расчёт наращённой величины аннуитета
Период Взносы* Проценты, начисленные Наращённая сумма
за период на конец периода
1 500,00 - 500,00
2 500,00 150,00 1150,00
3 500,00 345,00 1995,00
4 500,00 598,50 3093,50
5 500,00 928,05 4521,55

* Взносы поступают в конце периода.

Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:



/ . \ тхп

1

-1

V т у

¥Ш = К V ]Лт , (1.40)

1 +

- 1

V т у



где у - номинальная ставка процентов.

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально.

Решение:

В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее коли­чество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленны­ми на них процентами будет равна:

( 0 3 1 + ^

I 4 у

FVA = 500 х
г 0 3Л 1 + ^
V

= 4840,76 руб.

-1

У



Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4840,76 - 2500,00 = 2340,76 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращённую сумму, так и сумму процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год рав­ными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращённая величина ренты будет определяться по формуле (41):



(1 + г)п -1

FVA = Я х
(1.41)

р х[(1 + О"р -1]



Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т. е. р Ф т. Тогда формула по которой можно определить наращённую величину финансо­вой ренты примет вид:

align=left>


/ . \ тхп

-1
FVA = Я х
(1.42)
-1
р х

1 + ± V т



На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учёта принято подводить итоги и оце­нивать финансовый результат операции или иного действия по окончании оче­редного отчётного периода. Что же касается поступления денежных средств в счёт оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравно­мерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накоп­ления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращённая сумма ренты пренумерандо будет больше наращённой суммы обычной ренты в (1 + г) раз.

(1.43)

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:

РУЛ = Я х —[1] х (1 + І).

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз

в год:

V Л



1 +
т

Ґ у\т

РУЛ = Я х-
х
(1.44)
т
V
1+

-1

1

т



т

Помимо наращённой суммы обобщающей характеристикой потока пла­тежей является современная величина. Современная (текущая) величина по­тока платежей (капитализированная или приведённая величина) - это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т. к. является основой для измерения эффективности различных финансово- кредитных операций, сравнения условий контрактов и т. п. Данная характери­стика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, раз­бив её на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

Рисунок 8 - Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей


В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помо­щью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что поз­воляет их суммировать.

В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:

1 — (1 + і)- п

(1.45)

РУЛ = Я х—ь--- '— = я х а

Дробь в формуле - коэффициент приведения ренты (ап; г), значения ко­торого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от став­ки процентов (і) и от числа лет (п) (Прил.

Д).

Пример. Определить по данным предыдущего примера современную ве­личину ренты.

Решение:

Современная величина ренты составит:

РУЛ = 500 х 1 — (1 + 0,3) = 1217,78 руб.

0,3

Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1 217,78 руб.

Рассмотрим расчёт современной величины ренты для различных её видов:

1 —

- годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

1 +



т
(1.46)
РУЛ = Я х-
с
1

V



срочная рента при начислении процентов один раз в год:

(1.47)
1/р
1
р х

1 — (1 + г) ~п .

РУЛ = Я X

(1 + г)



- срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т. е. р Ф т.



1 +

т

Г І л 1+- т / р
р х — 1
V т у
1
(1.48)
РУЛ = Я х-



Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами: Я - размер платежа; п - срок ренты в годах; I - годовая ставка процентов.

Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих ха­рактеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от то­го, какая величина является исходной:

а) наращённая сумма. Если сумма долга определена на какой-либо мо­мент в будущем (ГУЛ), тогда величину последующих взносов в течение п лет при начислении на них процентов по ставке і можно определить по формуле:

_ ГУЛ х і _ ГУЛ _ (1+і)п -1 _ ■ (Ы9)

Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

50000 х 0,4 (1 + 0,4)5 -1

Таким образом, чтобы накопить на счёте необходимую сумму для покуп­ки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4 568 руб.

б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки про­цента и срока ренты, разовый платёж находится по формуле:

п РУЛ х і РУЛ

1 - (1 + і)п а
п;і

к _ , ,, . „ _ 2504,56 руб.

К _------------ -_-------- (1.50)

Пример. Сумма 10 тыс. руб. предоставлена в долг на 5 лет под 8% годо­вых. Определить ежегодную сумму погашения долга. Решение:

Известна современная величина долга, отсюда:

10000 X 0,08 1 - (1 + 0,08)-

к _ ^"ТГТ^Т _ 4568 руб.

Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2 504,56 руб.

Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на неё про­центами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10000 х (1 + 0,08)5 = 14 693,28 руб.

Наращённая сумма для потока платежей размером 2 504,56 руб. составит:

^ 2504,56х(1 + 0,08)5 -1 г FVA = ^ --------------- —--- = 14693,25 руб.

0,08

Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Не­значительное расхождение вызвано округлением расчётов.

Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путём умно­жения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.

Если денежные поступления осуществляются достаточно длительное время и их число заранее не может быть известно, то такой поток называется бессрочным аннуитетом или вечной рентой. В этом случае определение бу­дущей величины такого аннуитета не имеет смысла.

Для данного вида финансовой ренты имеет смысл только характеристика современной величины потока платежей. Поток, даже с неограниченным чис­лом платежей всё же имеет конечную приведённую стоимость, поскольку с фи­нансовой точки зрения, деньги, поступающие через много лет, сейчас практически ничего не стоят.

Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула современной вели­чины принимает следующий вид:

1 - " 1 "
1 (1+і) ]

Я 1

РУЛ = — х—^------------ =г. (1.51)

1 + і

При больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведённой величины срочного аннуитета можно пользоваться формулой бессрочного аннуитета, поскольку полученный приблизительный ре­зультат не слишком будет отличаться от точного значения, т. к. при сроке более 40-50 лет коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличают­ся друг от друга.

Приведённая стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется из приведённой стоимости бессрочного аннуитета постну- мерандо, скорректированного на коэффициент (1 + і), т. е. отличается на вели­чину первого платежа.

Если промежутки между последовательными поступлениями являются бесконечно малой величиной, то такой аннуитет считают непрерывным, т. е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью.

При начислении непрерывных процентов для получения формул опреде­ления наращённой или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда:

- наращённая величина потока платежей:



(1.52)
о/р
е

Я х (еоХЙ -1)

ГУЛ =

-1



где о - сила роста.

- современная величина потока платежей:



Я X (1
г)
ГУЛ =
о/р
-1

(1.53)



В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции. В таких случаях говорят о нерегулярных потоках платежей.

Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа.

Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счёт, т. е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и после­дующему их суммированию.

(1.54)

Однако в ряде случаев можно применять следующую формулу (1.54):

ГУЛ = £ [ як X (1 + о].

к=1

Пример. По приведённым данным о денежных потоках рассчитать для каждого наращённую величину, если потоки имеют место в конце года. Про­центная ставка 12% годовых.

Вариант денежного потока 1 год 2 год 3 год 4 год 5 год
Вариант А 100 200 200 300 300
Вариант В 200 - 200 - 200

Решение:

Для решения данной задачи произведём прямой расчёт наращённой сум­мы по каждому периоду, представив данные в виде таблиц.

Таблица 2 - Наращение суммы для потока варианта А
Период к Платёж, тыс. руб. Проценты, тыс. руб. Наращённая сумма, тыс. руб.
1 100 - 100,00
2 200 12,00 312,00
3 200 37,44 549,44
4 300 65,93 915,37
5 300 109,84 1325,21
Итого 1100 225,21 X

Таким образом, наращённая сумма потока А через пять лет составит 1 325,21 тыс. рублей.

Таблица 3 - Наращение суммы для потока варианта В bgcolor=white>1
Период к Платёж, тыс. руб. Проценты, тыс. руб. Наращённая сумма, тыс. руб.
200 - 200,00
2 - 24,00 224,00
3 200 26,88 450,88
4 - 54,11 504,99
5 200 60,60 765,59
Итого 600 165,59 X

Для потока В наращённая сумма через пять лет составит 765,59 тыс. рублей. Если воспользуемся вышеприведённой формулой (1.54), то

- для потока А наращённая величина составит:

¥УЛ = 100 х (1 + 0,12)4 + 200 х (1 + 0,12)3 + 200 х (1 + 0,12)2 + + 200 х (1 + +0,12)1 + 300 = 1 325,22 тыс. руб.

- для потока В наращённая величина составит:

¥УЛ = 200 х (1 + 0,12)4 + 200 х (1 + 0,12)2 + 200 = 765,58 тыс. руб.

Таким образом, расчёт по формуле для нерегулярных потоков платежей даёт такой же результат, как и прямой счёт.

Тест 4.

В заданиях, представленных в форме теста необходимо выбрать правиль­ный вариант ответа. Иногда правильных ответов может быть два и более. 1. Поток платежей - это:

А - рост инвестированного капитала на величину процентов; В - распределённые во времени выплаты и поступления;

С - перманентное обесценивание денег;

Э - платёж в конце периода.

2. Вечная рента - это:

А - рента, подлежащая безусловной выплате;

В - рента с выплатой в начале периода;

С - рента с бесконечным числом членов;

Э - рента с неравными членами.

3. Аннуитет - это:

А - частный случай потока платежей, когда члены потока только положи­тельные величины;

В - частный случай потока платежей, когда число равных временных ин­тервалов ограничено;

С - частный случай потока платежей, когда члены равны и имеют одина­ковую направленность, а периоды ренты одинаковы.

4. Для определения члена ренты необходимо знать:

А - наращённую сумму;

В - первоначальную сумму;

С - первоначальную и наращённую сумму;

Э - только процентную ставку и срок ренты.

5. Для оценки бессрочного аннуитета не имеет смысла определение:

А - современной величины аннуитета;

В - наращённой величины аннуитета;

С - члена ренты.

6. Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием нерегу­лярного параметра:

А - периода ренты;

В - размера платежа;

С - процентной ставки.

<< | >>
Источник: Броило Е. В.. Основы финансовых вычислений [Текст] : учеб. пособие / Е. В. Броило. - Ухта : УГТУ, - 106 с. 2015

Еще по теме 1.5. Потоки платежей и финансовые ренты:

  1. Глава 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ, РЕНТЫ. 2.1.
  2. Потоки платежей 2.2.
  3. Поток платежей и его доходность
  4. Случайные потоки, платежей
  5. 5.3. Классификация потоков платежей и методы их оценки
  6. 2.2. ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ
  7. 5. КРУГООБОРОТ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ
  8. 3.4.2. Управление финансовыми потоками
  9. 3.2. МИРОВЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ
  10. ОЦЕНКА ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ, ПЛАТЕЖЕ- И КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ
  11. 3.1. Банковские платежи, способы их проведения и необходимые для этого счетаРасчеты и платежи