1.3.2. Сложные проценты

В финансовой практике значительная часть расчётов ведётся с использо­ванием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

- срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличи­вается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга (за один период начисления):

ГУ = РУ +1 = РУ + РУ XI = РУ X (1 + /). (1.12)

За два периода начисления -

ГУ = (РУ +1) X (1 + 0 = РУ X (1 + 0 X (1 + 0 = РУ X (1 + О2, (1.13) отсюда, за п периодов начисления формула примет вид:

ГУ = РУ X (1 + 0 X п = РУ X кн, (1.14)

где ГУ - наращённая сумма долга;

РУ - первоначальная сумма долга;

I - ставка процентов в периоде начисления;

п - количество периодов начисления;

кн - коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процен­тов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются всё время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т. е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути яв­ляются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсо­лютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первона­чальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении её по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рас­сматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + о.

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + 1)п.

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, завися­щие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и пред­ставлены в Приложении Б. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке /.

Графическая иллюстрация соотношения наращённой суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по про­стым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращённая сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

ГУ

сложные

\----------- 1----------- 1 і

Рисунок 4 - Наращение по простым и сложным процентам

простые проценты
О
]
і
і



При любом і,

- если 0 < п < 1, то (1 + п х і) > (1 + і)п;

- если п > 1, то (1 + п х і) < (1 + і)п;

- если п = 1, то (1 + п х І) = (1 + І)п.

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

- более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

- более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

- обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности перио­да один год и однократном начислении процентов.

Пример. Сумма в размере 2 000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

п

Наращённая сумма

ГУ = РУ х (1 + і )п = 2000 X (1 + 0,1)2 = 2420 долларов

или

ГУ = РУ X кн = 2000 X 1,21 = 2420 долларов,

н

где кн = 1,21 (Прил. Б).

Сумма начисленных процентов

I = ГУ _ РУ = 2420 _ 2000 = 420 долларов.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в раз­мере 2 420 долларов, из которой 2 000 долларов составляет долг, а 420 долла­ров - «цена долга».

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отли­чающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

(1.15)

- общий метод заключается в прямом расчёте по формуле сложных процентов:

ГУ = РУ х (1 + г)п, п = а + Ь,

где п - период сделки; а - целое число лет; Ь - дробная часть года.

(116)

- смешанный метод расчёта предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дроб­ной части года - формулу простых процентов:

ГУ = РУ х (1 + г)а х (1 + Ь х г).

Поскольку Ь < 1, то (1 + Ь х г) > (1 + г)а, следовательно, наращённая сум­ма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Решение:

Общий метод:

2,9

ГУ = 250 х (1 + 0,095)2'9 = 320,87 тыс. долларов. Смешанный метод:



Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят I = S - P = 320,87 - 250,0 = 70,84 тыс. долларов, а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,0 = 71,11 тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору. При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки.

Сравните полученный результат с результатом примера 1. Не трудно за­метить, что сложная ставка даёт большую сумму процентов.

При расчёте по смешанному методу результат всегда оказывается больше.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления - номинальная ставка (j).

Номинальная ставка (nominal rate) - годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начис­ления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка

- во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

- во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок дол­га - n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

N = n х m .

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

N / . \ mxn

1 + J-

V m у

(1.17)
FV = PV х
= P х
1 +

V m У




где j - номинальная годовая ставка процентов.

Пример. Изменим условия предыдущего примера, введя ежеквартальное начисление процентов. Решение:

Количество периодов начисления равно:

N = 4 х 2 = 8.

Наращённая сумма составит:

1 + 4
= 2436,81 долларов.

0,1

FV = 2000 х



Сумма начисленных процентов:

I = FV - PV = 2436,81 - 2000 = 436,81 долларов.

Таким образом, через два года на счёте будет находиться сумма в размере 2 436,81 долларов, из которой 2 000 долларов является первоначальной суммой, размещённой на счёте, а 436,81 долларов - сумма начисленных процентов.

(1 + i) n =

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который полу­чен в целом за год, с учётом внутригодовой капитализации. Эффективная став­ка показывает, какая годовая ставка сложных процентов даёт тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m:

/ . ч тхп

1

V

m

(1.18)

1.
i =

/ .\т

1 + j



V т У

Из формулы (1.18 следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчёт эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку её значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансо­вой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Пример. Рассчитаем эффективную ставку для финансовой операции, рас­смотренной в предыдущем примере, а также для вклада при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 10%.

Решение:

Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 10% годовых, составит:

\ = (1 + 0,1/4)4 - 1 = 0,1038.

Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна:

г = (1 + 0,1/12)12 - 1= 0,1047.

Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке про­центов в размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, соста­вит 10,47% против 10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идёт процесс наращения.

Для облегчения расчётов можно пользоваться таблицами коэффициентов наращения сложных процентов, но внимательно следить за соответствием дли­ны периода начисления и процентной ставки за этот же период. Например, если периодом начисления является квартал, то в расчётах должна использоваться квартальная ставка.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов пред­полагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисле­ния процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

ГУ = Р¥х (1 + Ч)п х (1 + Ч)п х...х (1 + ік)* = РУ\\(1 + ік)*, (1.19)

к=1

где ік - последовательные во времени значения процентных ставок;

пк - длительность периодов, в течение которых используются соответ­ствующие ставки.

Пример. Фирма получила кредит в банке на сумму 100 000 долларов сро­ком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для последующих лет 1%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используем формулу переменных процентных ставок: ГУ = 100000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,115) х (1 + 0,125)3 = 174 632,51 долларов.

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, со­ставит 174 632,51 доллара, из которых 100 000 долларов являются непосред­ственно суммой долга, а 74 632,51 доллара - проценты по долгу.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дис­кретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксирован­ные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за

сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись еже­дневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:



/ Л
1 + J-

m

к. =
У

m / . ч365

1 +j

V 365 у



Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то т стремится к бес­конечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к в:



1 + ±

(1.20)
eJ = lim

V m У



где e ~ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращённой суммы для n лет:

FV = PV х ejxn = P х ebxn. (1.21)

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом д, в отличие от ставки дискретных процентов (j).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кре­дита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов: - начисление один раз в год -

FV = 100 000 х (1 + 0,08)3 = 125 971,2 долларов;

- ежедневное начисление процентов -

FV = 100 000 х (1 + 0,08 / 365)365 х 3 = 127 121,6 долларов;

- непрерывное начисление процентов -

FV = 100 000 х e0 08 х 3 = 127 124,9 долларов.

Графически изменение наращённой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

о

При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обрати­те внимание, что высота «ступенек» всё время возрастает.

В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они пре­вышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Ещё более быстрыми темпами идёт наращение при непрерывном начислении процентов, что и пока­зывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов нараще­ние первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причём максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле­нии годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращённая сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Рисунок 5 - Различные варианты начисления процентов

в) непрерывное начисление

б) полугодовое начисл ение

а) ежегодное начисление

Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансо­вой операции:

РУ л РУ

- срок ссуды:

(1.22)

(1.23)

Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

Решение:

Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда вы­годнее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению про­центной ставки:

\ = 3/3 -1 = 1,443 -1 = 0,443.

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годо­вых будет более выгодно.

<< | >>
Источник: Броило Е. В.. Основы финансовых вычислений [Текст] : учеб. пособие / Е. В. Броило. - Ухта : УГТУ, - 106 с. 2015

Еще по теме 1.3.2. Сложные проценты:

  1. Сложный процент
  2. Наращение сложных процентов
  3. 7.2. Понятие простого и сложного процента
  4. 4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
  5. 10.2. Шесть функций сложного процента
  6. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  7. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  8. Сравнение силы роста простых и сложных процентов
  9. ПРАВА СОБСТВЕННОСТИ НА СЛОЖНЫЕ ОБЪЕКТЫ. ЗАКРЫТЫЕ ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ БИЗНЕСА I. ПРАВА СОБСТВЕННОСТИ НА СЛОЖНЫЕ ОБЪЕКТЫ
  10. 4.2 Теория сложных процентных ставок
  11. Сложные государства
  12. ИКС как сложные системы.
  13. 4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ НРОЦЕНТОВ