загрузка...

1.3.1. Простые проценты

Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т. е. определения денеж­ной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, кото­рой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идёт движение денежного потока от настоящего к будущему.

Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i.

Рисунок 3 - Логика финансовой операции наращения


При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

Из определения процентов не трудно заметить, что проценты (процент­ные деньги) представляют собой, по сути, абсолютные приросты:

I = ГУ - РУ, (1.1)

а поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приро­стов на количество лет ссуды:

xn=ixPVxn
(1.2)

"ГУ - РУ'

I = (FV - PV) X n

PV x PV

где і = (РУ- РУ) / РУ по определению процентной ставки.

Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трёх факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.

Тогда наращённую сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

ГУ = РУ +1 = РУ +1X РУ X п = РУ X (1 +гX п) = РУ X кн, (1.3)

где кн - коэффициент (множитель) наращения простых процентов. Данная формула называется «формулой простых процентов». Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функ­ции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулиру­ются. Таким образом, для облегчения финансовых расчётов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

Пример. Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежа­щую возврату. Решение:

Наращённая сумма будет равна:

ГУ = РУ X (1 + п Xг) = 2000 X (1 + 2 X 0,1) = 2400 руб.

или

ГУ = РУ X кн = 2000 X 1,2 = 2400 руб.

Сумма начисленных процентов равна:

I = РУ X п X г = 2000 X 2 X 0,1 = 400 руб.

или

I = ГУ - РУ = 2400 - 2000 = 400 руб.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в раз­мере 2 400 рублей, из которой 2 000 рублей составляет долг, а 400 рублей - «цена долга».

Следует заметить, что подобные задачи на практике встречаются редко, поскольку к простым процентам прибегают в случаях:

- выдачи краткосрочных ссуд, т. е. ссуд, срок которых либо равен году, либо меньше его, с однократным начислением процентов;

- когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически вы­плачиваются.

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы (1.3):

а) если срок ссуды выражен в месяцах (М), то величина п выражается в виде дроби:

п = М/12,

тогда все формулы можно представить в виде:

М

ГУ = РУ х (1 + — Xг);

12

I = РУ х М х г; (1.4)

12

М

к = 1 +----- х I.

н 12

Пример. Изменим условия предыдущего примера 1, снизив срок долга до 6 месяцев.

Решение:

Наращённая сумма:

ГУ = 2000 х (1 + — х 0,1) = 2100 руб 12 ^

или

ГУ = РУ х кн = 2000 х 1,05 = 2100 руб. Сумма начисленных процентов:

I = 2000 х 6 х 0,1 = 100 руб.

или

I = ГУ - РУ = 2100 - 2000 = 100 руб. Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в раз­мере 2 100 рублей, из которой 2 000 рублей составляет долг, а проценты - 100 рублей.

б) если время выражено в днях (/), то величина п выражается в виде сле­дующей дроби:

г

п = —

Г'

где г - число дней ссуды, т. е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;

Г - расчётное число дней в году (временная база).

Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:

FV = PV x (1 + j x i);

I = PVx tx i; (1.5)

k = 1 + — x i.

н r~r

Здесь возможны следующие варианты расчёта:

1. Временную базу (T) можно представить по-разному:

- условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идёт об обыкно­венном (ordinary interest) или коммерческом проценте;

- взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exact interest).

2. Число дней ссуды (t) также можно по-разному определять:

- условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, - в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды;

- используя прямой счёт или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, - в этом слу­чае получают точное число дней ссуды.

Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчёт простых процентов может быть произведён одним из трёх возможных способов:

- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды или, как часто называют, «германская практика расчёта», когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца - за 30 дней. Этот спо­соб обычно используется в Германии, Дании, Швеции.

- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или «фран­цузская практика расчёта», когда продолжительность года условно принимает­ся за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.

- Точные проценты с точным числом дней ссуды, или «английская практика расчёта», когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.

Чисто формально возможен и четвёртый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, - но он лишён экономического смысла.

Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсо­лютной величине.

Для упрощения процедуры расчёта точного числа дней финансовой опе­рации пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года (Прил. А), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней получается путём вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции. При определении продолжительности финансовой операции дата выдачи и дата погашения счи­таются за один день.

Пример. Сумма 2 млн руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% го­довых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.

Решение:

Германская практика начисления простых процентов:

Временная база принимается за 360 дней, Т = 360.

Количество дней ссуды:

t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) +

+ 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) + 30 (ноябрь) +

+ 25 (декабрь) - 1 = 305 дней

Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 X 305 X 0,35 = 593055,55 руб.

360

Французская практика начисления процентов: Временная база принимается за 360 дней, Т = 360. Количество дней ссуды:

t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) + + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 30 (ноябрь) + + 25 (декабрь) - 1 = 310 дней

По таблицам порядковых номеров дней в году (Прил. А) можно опреде­лить точное число дней финансовой операции следующим образом:

t = 359 - 49 = 310 дней. Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 X 310 X 0,35 = 602777,78 руб. 360

Английская практика начисления процентов:

Временная база принимается за 365 дней, Т = 365.

Количество дней ссуды берётся точным, ї = 310 дней.

Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 х 310 х 0,35 = 594520,55 руб.

365

Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в боль­шинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным чис­лом дней ссуды.

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зави­сит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции.

В банковской практике размещённый на длительное время капитал может в течение этого периода времени изменяться, т.

е. увеличиваться или умень­шаться путём дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислением процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начислен­ных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой, и кредитовой части счёта. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

В таких случаях для расчёта процентов используется методика расчёта с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счёте изменяется, производится расчёт «процентного числа» за период, в течение которого сум­ма на счёте была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле (1.6):

ПТГ РУ х ї

ПЧ =---------- (1 6)

100 ' ^ ;

где ПЧ - процентное число;

РУ - сумма на счёте;

ї - длительность периода в днях.

Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все «про­центные числа» складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название «процентный ключ» или дивизор Б, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:

у ПЧ

1 -уГ' (1-7)

т

где Б -—, Т - продолжительность года в днях; г

г - годовая ставка процентов.

Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного ис­ходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количе­ство дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из дивизоров.

Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого ин­тервала постоянства суммы на счёте:

I - /1 + 12 + 13 - РУ1 х х I + РУ2 х х I + РУ3 х х I. (1.8)

Пример. При открытии сберегательного счёта по ставке 28% годовых, 20 мая 2013 года была положена сумма в размере 1 000 рублей, а 5 июля на счёт добавлена сумма в 500 руб., 10 сентября снята со счёта сумма в 750 руб., а 20 ноября счёт был закрыт. Используя процентные числа определить сумму начисленных процентов при условии, что банк использует «германскую практику». Решение:

Срок хранения суммы в 1000 руб. составил 46 дней, тогда

ПЧ, - 1™х4« - 4б0; 1 100

срок хранения суммы в размере 1500 руб. составил 66 дней, откуда

ПЧ - 1500 х 66 - 990; 2 100

срок хранения уменьшенной до 750 руб. суммы составил 70 дней:

ПЧ3 - 750х20 - 525; 3 100

Б - 360 - 12,857. 28

Следовательно, сумма начисленных процентов за период действия сбере­гательного счёта составит:

I = (460 + 990 + 525)/12,857 = 153,61 руб.

Можно проверить правильность произведённых нами расчётов, исходя из сути процентов:

I = 1000 х — х 0,28 +1500 х — х 0,28 + 750 х — х 0,28 = 153,61руб.

360 360 360

Как видим, результат вычислений тот же самый.

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматри­ваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращённую сумму определяют, исполь­зуя формулу (1.9):

ГУ = РУ х (1 + п1 х 11 + п2 х 12 +... + пк х 1к, (1.9)

где к - количество периодов начисления;

пк - продолжительность к-го периода;

1к - ставка процентов в к-ом периоде.

Пример. Вклад в сумме 5000 руб. был положен в банк 25 мая не високос­ного года по ставке 35% годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 30% годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начислен­ных процентов при английской практике их начисления.

Решение:

Количество дней для начисления процентов по первоначально действу­ющей процентной ставке в размере 35% годовых рассчитывается точно и со­ставляет 37 дней, а по изменённой ставке 30% годовых - 14 дней.

Отсюда величина процентов будет равна:



234,93 руб.

37 14

I = 5000х
у

х 0,35 +----- х 0,30

365 365



Таким образом, при закрытии счёта клиент должен получить процентов в сумме 234,93 руб.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (РУ), наращённая или будущая величина (ГУ), процентная ставка (/) и время (п).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или её анализе возни­кает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово- коммерческих расчётах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда из­вестна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

ГУ _ РУ

п =-------------

РУ х г '

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная ба­за в качестве сомножителя:

(гу_ру\

г = ——— х т. (1.10)

V РУх г )

Пример. На сколько дней можно дать в долг 1 000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращённая сумма будет составлять 1 075 долларов? Решение:

Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует: - для обычных процентов
hspace=0 vspace=0 align=left> '1075 _ 1000Л V 1000 х 0,08 ,

ГУ _ РУ V РУхг у
х 360 = 338 дней;
х Т
г



для точных процентов

'1075-1000 Л ч 1000 х 0,08 ,
(ГУ_РУЛ V РУхг ,
х 365 = 342 дня.
х т
г



Таким образом, сумма в 1000 долларов может быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин «точные проценты», а по умолчанию или использованию термина «обыкновен­ные проценты», срок ссуды сокращается до 338 дней.

Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись формулой (1.1):

ґРУ-РУл к РУхі ,
РУ - РУ РУ х п
х Т. (1.11)
І =

Пример. В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1 150 долла­ров. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки. Решение:

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновен­ного процента», поскольку в условиях сделки нет ссылки на «точный процент»:

^ 1200 -1150 Л

х 360 = 0,13.

1150 х 120

Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т. к. обычно доходность подобных операций колеблется от 2% до 8%.

<< | >>
Источник: Броило Е. В.. Основы финансовых вычислений [Текст] : учеб. пособие / Е. В. Броило. - Ухта : УГТУ, - 106 с. 2015

Еще по теме 1.3.1. Простые проценты:

  1. 7.2. Понятие простого и сложного процента
  2. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  3. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  4. Сравнение силы роста простых и сложных процентов
  5. Простой вексель
  6. ПРОСТОЙ ВЕКСЕЛЬ № 18
  7. Простой вексель
  8. БУХГАЛТЕРИЯ ПРОСТАЯ
  9. Процент
  10. 1.3.2. Сложные проценты
  11. 1.1. Простейшие модели
  12. 12.1. Простое воспроизводство
  13. 1. Простая (парная) регрессия
  14. § 43. Д) Вещи простые, составные и собирательные
  15. § 3 Простое воспроизводство капитала фирмы
  16. Взаимодействие как простейшее социальное явление
  17. Прочие доходы и расходы — не просто то да сё
  18. Простое (унитарное) государство
  19. Простая община